43. Импульсная реакция фильтров.

Функция отклика. Если на вход нерекурсивного фильтра подать импульс Кронекера, расположенный в точке k = 0, то на выходе фильтра мы получим его реакцию на единичный входной сигнал (формула 2.1.3), которая определяется весовыми коэффициентами b_n оператора фильтра:

y(k) = TL[(0)] = b_n ③(k-n) = h(k) ≡ b_n. (2.2.1)

Для рекурсивных фильтров реакция на импульс Кронекера зависит как от коэффициентов b_n фильтра, так и от коэффициентов обратной связи a_m. С использованием формулы (2.1.2):

y(k) = b_n(k-n) – a_my(k-m) = h_k. (2.2.1')

Функция h(k), которая связывает вход и выход фильтра по реакции на единичный входной сигнал и однозначно определяется оператором преобразования фильтра, получила название импульсного отклика фильтра (функции отклика). Для рекурсивных фильтров длина импульсного отклика, в принципе, может быть бесконечной.

Если произвольный сигнал на входе фильтра представить в виде линейной комбинации взвешенных импульсов Кронекера

x(k) = (n) x(k-n),

то сигнал на выходе фильтра можно рассматривать как суперпозицию запаздывающих импульсных реакций на входную последовательность взвешенных импульсов:

y(k) = h(n) (n) x(k-n))  h(n) x(k-n).

Для нерекурсивных фильтров пределы суммирования в последнем выражении устанавливаются непосредственно по длине импульсного отклика h(n).

Определение импульсной реакции на практике требуется, как правило, только для рекурсивных фильтров, так как импульсная реакция для НЦФ при известных значениях коэффициентов b(n), как это следует из выражения (2.2.1), специального определения не требует: h(n) ≡ b(n).

Если выражение для системы известно в общей форме (2.1.2), определение импульсной реакции производится подстановкой в уравнение системы импульса Кронекера с координатой k = 0 при нулевых начальных условиях. В соответствии с выражением (2.2.1) сигнал на выходе системы будет представлять собой импульсную реакцию системы.

Определение импульсной реакции физической системы обычно производится подачей на вход системы ступенчатой функции Хевисайда, которая равна u(k)= 1 при k0, и u(k)= 0 при k<0:

g(k) = h(n) u(k-n) = h(n).

Отсюда:

h(k) = g(k) - g(k-1).

Функция g(k) получила название переходной характеристики системы (из одного статического состояния в другое). Форму реакции фильтра на функцию Хевисайда можно видеть на рис. 2.1.4 (с точки k = 10 и далее) в сопоставлении с реакцией на импульс Кронекера в точке k=2.

Передаточные функции фильтров

Z-преобразование. Удобным методом решения разностных уравнений линейных систем является z-преобразование.

Применяя z-преобразование к обеим частям равенства (2.1.1), c учетом сдвига функций (y(k-m)  z^m Y(z)), получаем:

Y(z) a_mz^m = X(z) b_nzⁿ, (2.3.1)

где X(z),Y(z)- соответствующие z-образы входного и выходного сигнала. Отсюда, полагая a_o = 1, получаем в общей форме уравнение передаточной функции системы в z-области:

H(z) = Y(z)/X(z) = b_nzⁿ (1+ a_mz^m). (2.3.2)

Для НЦФ, при нулевых коэффициентах a_m:

H(z) = b_nzⁿ. (2.3.3)

При проектировании фильтров исходной, как правило, является частотная передаточная функция фильтра H(ω), по которой вычисляется ее Z-образ H(z) и обратным переходом в пространство сигналов определяется алгоритм обработки данных. В общей форме для выходных сигналов фильтра:

Y(z) = H(z)·X(z).

Y(z)·(1+ a_m z^m) = X(z) b_n zⁿ

Y(z) = X(z) b_nzⁿ – Y(z) a_mz^m. (2.3.4)

После обратного Z-преобразования выражения (2.3.4):

y(k) = b_nx(k-n) – a_my(k-m). (2.3.5)

При подаче на вход фильтра импульса Кронекера _о, имеющего z-образ (z) = zⁿ = 1, сигнал на выходе фильтра будет представлять собой импульсную реакцию фильтра y(k) ≡ h(k), при этом:

H(z) = Y(z)/(z) = Y(z) = TZ[y(k)] = h(k) z^k, (2.3.6)

т.е. передаточная функция фильтра является z-образом его импульсной реакции. При обратном z-преобразовании передаточной функции получаем импульсную характеристику фильтра:

h(k)  H(z). (2.3.7)

Если функция H(z) представлена конечным степенным полиномом, что характерно для НЦФ, являющихся КИХ-фильтрами, то обратное z-преобразование осуществляется элементарно - идентификацией коэффициентов по степеням z. Передаточная функция РЦФ также может быть представлена степенным полиномом прямым делением числителя на знаменатель правой части выражения (2.3.2), однако результат при этом может оказаться как конечным, так и бесконечным, т.е. система может иметь либо конечную, либо бесконечную импульсную характеристику. Практически используемые рекурсивные фильтры обычно имеют бесконечную импульсную характеристику (БИХ-фильтры) при конечном числе членов алгоритма фильтрации (2.3.5).