44 Трансверсальные цифровые фильтры

Под трансверсальными фильтрами понимают такие ЦФ, которые работают в соответствии с алгоритмом

_i= a₀u_i+ a₁u_i-1 + a₂u_i-2 + ··· + a_mu_i-m,где а₀, а₁, а₂, ..., а_m— последовательность постоянных коэффициентов; т — число, определяющее порядок фильтра.

Трансверсальный фильтр производит взвешенное суммирование предшествующих отсчетов входного сигнала.

Применив z-преобразование к обеим частям уравнения (3.98), получим

V(z) = (а₀ + а₁z^-1 + а₂z^-2 +... + a_mz^-m)u(z).

Последнее уравнение получено с учетом теоремы о запаздывании, из которой следует, что запаздывание дискретного сигнала на один элемент соответствует умножению z-преобразование на z^-1.

Убедимся в этом, вычисляя z-преобразование от u(i-1):

,где .

При вычислении произведена замена i-1 на mи принято во внимание, что u(-1)=0.

Отсюда системная функция

(3.99)

Частотную характеристику фильтра получаем по уравнению (3.99) заменой z= e^jωΔ.

K(jω) = а₀ + а₁e^-jωΔ + а₂e^-j2ωΔ +... + а_me^-jmωΔ. (3.100)

Вычислим импульсную характеристику этого фильтра.

.

Следовательно, коэффициенты a₀,a₁,…,a_m, входящие в выражения (3.98), (3.100), определяют выборочные значения импульсной характеристики.

Схема, реализующая это уравнение для m=4, приведена на рис.3.95. Она содержит идеальные линии задержки (ячейки памяти) на время, равное интервалу дискретизации Δ, перемножители и сумматор. При возбуждении трансверсального фильтра единичным импульсом

{u_k} = (1,0,0,0....0)

и перемещения содержимого ячеек памяти путем сдвига через время дискретизации Δ на его выходе формируются выборочные значения импульсной характеристики ЦФ. При подаче на его вход совокупности выборок {u_k},k= 0,...,т и перемещении содержимого ячеек памяти на его выходе реализуется совокупность дискретных сигналов, определяемая формулой свертки (3.91). Элементы задержки трансверсального фильтра должны обеспечивать задержку l-разрядных двоичных чисел, а перемножители и сумматоры — соответствующие математические операции с этими числами.

45 Рекурсивный цифровой фильтр

Этот фильтр работает по следующему алгоритму: υ_i= а₀u_i+ а₁u_i-1 + ... + a_mu_i-m+ b₁υ_i-1 + b₂υ_i-2 +... + b_nυ_i-n, (3.101)

где а_o,а₁,...,a_m;b₁,b₂,...,b_n— постоянные коэффициенты, неравные нулю.

В уравнении (3.101) участвуют выборки как входного, так и выходного сигналов.

Системная функция рекурсивного фильтра определяется выражением

Схема рекурсивного ЦФ приведена для m=4 и n=4 на рис. 3.96. Она содержит элементы задержки (памяти), умножители и сумматор, обеспечивающий математические операции с l-разрядными двоичными числами.

При подаче на его вход совокупности выборок {u_k}, k= (0, ..., m- 1) и пе­ремещения содержимого ячеек памяти,через время дискретизации Δ на его выходе формируются выборки выходного сигнала в соответствии с формулой (3.101).

46 Устойчивость фильтров.Фильтр называется устойчивым, если при любых начальных условиях реакция фильтра на любое ограниченное воздействие также ограничена. Критерием устойчивости фильтра является абсолютная сходимость отсчетов его импульсного отклика: |h(n)| <. (2.3.8)

Анализ устойчивости может быть проведен по передаточной функции. В устойчивой системе значение H(z) должно быть конечным во всех точках z-плоскости, где |z|  1, а, следовательно, передаточная функция не должна иметь особых точек (полюсов) на и внутри единичного круга на z-плоскости. Полюсы H(z) определяются корнями знаменателя передаточной функции (2.3.2).

Пример.

Передаточная функция фильтра рис. 2.1.4: H(z) = b₀/(1-a₁z). При а₁= 0.5 полюс знаменателя: z_р= 2. |z_р|>1. Фильтр устойчив.

Передаточная функция фильтра рис. 2.1.5: H(z) = b₀/(1+a₁z). При а₁= 1.1 полюс знаменателя: z_р= -0.909. |z_р| < 1. Фильтр неустойчив, что и подтверждает пример фильтрации.

Передаточная функция фильтра рис. 2.1.6: H(z) = 0.5(1+z)/(1-z). Полюс знаменателя: z_р= 1. В принципе, фильтр неустойчив, но эта неустойчивость проявляется только при k = ∞. Импульсный отклик фильтра h(n) = {0.5,1,1,1, ….}, сумма которого равна ∞ только при n = ∞, т.е. при интегрировании бесконечно больших массивов. При интегрировании конечных массивов результат всегда конечен.

Приведенный критерий устойчивости относится к несократимой дроби, т.к. в противном случае возможна компенсация полюса нулем передаточной функции, и следует проверить наличие однозначных нулей и полюсов.

Проверка на устойчивость требуется только для рекурсивных цифровых фильтров (систем с обратной связью), нерекурсивные системы всегда устойчивы.