9. Интерференция скважин. Метод суперпозиции. Приток жидкости к группе скважин в пласте с удаленным контуром питания.

Интерференция скважин – явление взаимодействия и взаимовлияние вводимых скважин с существующими.

Точечный сток – точка на плоскости, поглощающая жидкость ( гидродинамически совершенная скважина бесконечно малого радиуса в пласте единичной толщины).

Точечный источник – точка, выделяющая жидкость, что соответствует на практике нагнетательной скважине.

Найдем потенциал точечного стока Ф на плоскости. Т.к. точечный сток является моделью добывающей скважины и течение вокруг него плоскорадиальное, то можно воспользоваться формулой скорости фильтрации для потока,

где q=Q/h – дебит скважины стока, приходящийся на ед. толщины пласта.

С др. стороны, для плоскорадиального потока имеем

W= - dФ/ds=dФ/dr, dФ=Wdr=qdr/2r. Проинтегрировав, получим Ф=(q/2)lnr+C (2), где С-постоянная интегрирования.

Т.о. потенциал в окрестности скважины стока пропорционален ln расстояния r от стока. При r=0 и r= функция lnr обращается в , поэтому потенциал в этих точках теряет смысл. Для точечного источника справедливы все формулы, но необходимо считать q<0. Из (2) следует, что линиями равного потенциала являются окружности r=const. Найдем потенциал точечного стока в пространстве. Движение вблизи такого стока – радиально-сферическое. Поэтому скорость фильтрации W=Q/4r²=dФ/dr, dФ=Qdr/4r², Ф= - Q/4r+C (3). Из этого следует, что Ф в пространстве обращается в  при r=0, а при r= потенциал остается конечным (Ф=С). На основе свойств уравнения Лапласса, которое описывается распределением давления и потенциала в установившихся потоках жидкости в пласте разработан метод суперпозиции для решения сложных гидродинамических задач. Матем. смысл этого метода в том, что имеются несколько фильтрационных потоков с потенциалами Ф₁(x,y,z), Ф₂(x,y,z),…, Ф_n(x,y,z) каждый из которых удовлетворяет уравнению Лапласа , где i=1, 2,…,n. То сумма потенциалов Ф=С_iФ_i , где С_i=const, также удовл. уравнению Лапласа.

в ызванных работой каждой скважины.

Пусть на неограниченной плоскости расположено n-стоков и источников. Потенциал каждого из них в точке М определяется по формуле (2) Ф₁ = (q₁/2)lnr₁+C₁; Ф₂ = (q₂/2)lnr₂+C₂;…; Ф_n = (q_n/2)lnr_n+C_n, где r₁, r₂,…, r_n - расстояние от 1-го, 2-го, …, n-го стоков до т.М. Каждая из функций удовлетворяет уравнению Лапласа Ф=Ф₁+Ф₂+…+Ф_n=(1/2)q_ilnr_i +C (4), где С=С₁+С₂+…+С_n удовлетворяют уравнению Лапласа.

Ai – стоки Физически это означает, что фильтрационные потоки от работы каждого источника или стока накладываются друг на друга. В этом принцип суперпозиции. Вектор скорости W в т.М определяется W=W₁+W₂+…+W_n, где W₁=q₁/2r₁;…; W_n=q_n/2r_n ; (5)

Метод суперпозиции можно использовать и в пластах, имеющих контур питания или непроницаемую границу. В этом случае для выполнения условий на границах вводят фиктивные скважины-стоки или скважины-источники за пределами пласта. Этот метод называется методом отображения источников и стоков.

Приток жидкости к группе скважин в пласте с удаленным контуром питания.

Пусть в горизонтальном пласте толщиной h расположена группа скважин А₁, А₂,…, А_n радиусами r_ci работающих с разными потенциалами Ф_ci (i=1,2,…,n), r_ij=r_ji –расстояние между i-ой и j-ой скважинами. Расстояние от всех скважин до всех точек контура питания R_k. Ф_к на контуре задано. Надо определить дебит каждой скважины и скорость фильтрации в любой точке пласта. Потенциал в любой точке пласта определяется по формуле (4).

Ф_с1=1/2(q₁lnr_c1+ q₂lnr₁₂+…+ q_nlnr_1n)+C (6), r_ci << r_ij ij

Ф_с2=1/2(q₁lnr₂₁+ q₂lnr_с2+…+ q_nlnr_2n)+C

…………………………………………….

Ф_сn=1/2(q₁lnr_n1+ q₂lnr_n2+…+ q_nlnr_сn)+C

Система (6) состоит из n уравнений и n+1 неизвестных. Дополнит. уравнение получим, поместив т.М на контур питания :

Ф_к= 1/2(q₁lnR_k+ q₂lnR_k+…+ q_nlnR_k)+C (7).

Вычитая (6) из (7) , исключим пост. С. В итоге получим систему из n уравнений, решив которую можно найти дебиты q₁, q₂,…, q_n, если заданы забойные потенциалы. Можно решить и обратную задачу, т.е. определить потенциалы по известным дебитам.

Ф_к-Ф_с1=1/2(q₁ln(R_k/r_c1)+ q₂ln(R_k/r₁₂)+…+ q_nln(R_k/r_1n)

…………………………………………………………….. (8)

Ф_к-Ф_сn=1/2(q₁ln(R_k/r_n1)+ q₂ln(R_k/r_n2)+…+ q_nln(R_k/r_cn)

Скорость фильтрации W в любой т. М пласта определяется как геометрическая сумма

W_i=W_i, (i=1,…,n) W_i= W_i =q_i/2r_i . ВекторыW_i направлены по радиусу от т.М к данной скважине-стоку.

10. Интерференция скважин. Приток жидкости к скважине в пласте с прямолинейным контуром питания.

Интерференция скважин.

Явление интерференции скважин (взаимодействия) заключается в том, что под влиянием пуска, остановки или изменения режима работы одной группы скважин изменяются дебиты и забойное давление другой группы скважин эксплуатирующих один и тот же пласт. При этом суммарная добыча нефти из месторождения по мере ввода в эксплуатацию новых скважин, находящихся в одинаковых условиях растет медленнее чем число скважин. Это вызвано тем, что вновь вводимые скважины взаимодействуют с существующими – это явление взаимодействия и взаимовлияния скважин называется интерференцией.

Приток жидкости к скважине в пласте с прямолинейным контуром питания.

Пусть в полубесконечном пласте с прямолинейным контуром питания на котором потенциал равен Ф_к работает одна добывающая скважина А с забойным потенциалом Ф_с. Необходимо найти дебит скважины, потенциал и скорость фильтрации в любой точке пласта.

Найти дебит скв., потенциал и скорость фильтрации.

Для решения этой задачи воспользуемся методом отображения источников и стоков. Зеркально отобразим скважину-сток А относительно контура питания и дебиту скважины изображения А’ припишем противоположный знак. Будем считать скважину А’ источником.

Рассмотрим в бесконечном пласте совместную работу 2-ух скважин – скважины-стока А с дебитом +q и скважины-источника А’ с дебитом –q. Тогда потенциал в любой т.М находящейся на расстоянии r₁ от скважины-стока А и на расстоянии r₂ от А’ определим по формуле:

Ф_м=1/2 [(+q)lnr₁ +(-q)lnr₂]+C=qln(r₁/r₂)/2+C (1), r₁=r₂. Потенциал на контуре питания постоянен, Ф=С=Ф_к (2). Из (1) с учетом (2) определим потенциал на забое скважины –стока А, при этом r₁=r_с, а r₂=2а, тогда

Ф_с=qln(r_c/2a)/2+Ф_к=Ф_к - qln(2а/r_c)/2 (3). Выражение для дебита скважины А, приходящегося на ед. толщины пласта, определим по формуле q=2(Ф_к-Ф_с)/ln(2a/r_c) (4).

Если контур питания - окружность радиуса R_k=a, то дебит скважины q=2(Ф_к-Ф_с)/ln(a/r_c) – формула Дюпюи.

Если она заключена между окружностью и прямой линией (это в реальных условиях), то дебит скважины в пределах

2(Ф_к-Ф_с)/ln(2a/r_c) q 2(Ф_к-Ф_с)/ln(a/r_c).

Потенциал Ф_м=qln(r₁/r₂)/2+ Ф_к (5).

Скорость фильтрации равна геометрической сумме скоростей фильтрации вызванных работой реальной скважины-стока А и фиктивной скважины А’: W=W_A+W_A', где │W_А│= q/2r₁; │W_А'│= -q/2r₂.

На контуре питания, где r₁=r₂ , скорость фильтрации перпендикулярна контуру питания.

Из ф-лы (5) => что ур-е эквипотенциали имеет вид: r1/r2=const =>

Выразим и через коор-ты т. М(x,y) и коор-ты центров скажин А(а;0) и А’(-а;0).

Получим = (x-a)²+y²

= (x+a)²+y²

=>мы имеем ур-е с центром на оси x, и меняя величину с², получим семейство окружностей с разными радиусами и центрами в разных точках оси х.