11. Приток к несовершенным скважинам.

Если скважина с открытым забоем вскрывает пласт не на всю толщину h, а только на некоторую глубину b, то ее называют гидродинамически несовершенной по степени вскрытия пласта. При этом называется относительным вскрытием пласта.

Если скважина вскрывает пласт до подошвы, но сообщение с пластом происходит только через специальные отверстия в обсадной колонне и цементном камне или через специальные фильтры, то такую скважину называют гидродинамически несовершенной по характеру вскрытия пласта.

Допустим, что скважина вскрыла кровлю пласта неограниченной толщины (h) и при этом ее забой имеет форму полусферы. Можно считать поток радиально-сферическим при условии, что R_k. Тогда дебит скважины будет Если скважина вскрыла пласт неограниченной толщины на глубину b, то ее дебит можно опр-ть по ф-ле Гиринского:

Задача о притоке жидкости к несоверш. по степени вскрытия пласта скважине в пласте конечной толщины исследовалась Маскетом. Он получил след. ф-лу для дебита гидродин. несовершенной по степени вскрытия пласта скважины:

, где ξ определятся при помощи гамма-функции:

Г(n) – интеграл Эйлера 2 рода.

В общем случае дебит гидродинамически несовершенной скважины подсчитывается так:

, (*)

где С=С₁+С₂ – дополнительное фильтрационное сопротивление по степени вскрытия пласта (С₁) и по характеру вскрытия (С₂). Для С₁ получены следующие формулы:

Сравнивая дебиты совершенной скважины (формула Дюпюи) и несовершенной скважины, получим выражение коэффициента совершенства скважины в виде

=ln(R_k/r_c)/[ln(R_k/r_c)+C].

Иногда удобно ввести понятие о приведенном радиусе скважины r_с , т.е. радиус той совершенной скважины, дебит которой равен дебиту данной несовершенной скважины r_с=r_ce^-С. С учетом этого (*) примет вид:

Для расчета дебита скважины, вскрывшей пласт на малую глубину, т.е. величина b<<h, приняв R₀ =1,5h, получим формулу:

12. Дифференциальные уравнения установившейся фильтрации упругой жидкости и газа по закону Дарси. Функция Лейбензона. Аналогия установившейся фильтрации сжимаемого флюида с фильтрацией несжимаемой жидкости. Установившаяся фильтрация упругой жидкости.

Дифференциальные уравнения установившейся фильтрации упругожидкости и газа по закону Дарси.

Запишем диф. уравнение фильтрации однофазного сжимаемого флюида в однородной пористой среде, пренебрегая силами тяжести и инерции. Тогда уравнение неразрывности потока (1):

При этом уравнения движения W_x=-(kP)/(x);

W_y=-(kP)/(y); W_z=-(kP)/(z) (2)

Введем функцию Лейбензона (‘ро’большая) следующим образом Р’ =[k(P)(P)dP]/(p) (3)

Проинтегрировав последнее равенство, получим: (4)

Функция Лейбензона Р’(‘ро’большая), P зависят от координат и времени. Тогда равенство (3) можно записать в виде:

(Р’/x)dx+(P’/y)dy+(P’/z)dz+(P’/t)dt=

=[k(P)(P)/(P)][(Р/x)dx+(P/y)dy+(P/z)dz+

+(P/t)dt]

Сравнивая коэф-ты при dx,dy,dz,dt получаем, что

Запишем выражения для массовых скоростей фильтрации, умножив уравнение движения (2) на плотность флюида (P), тогда W_x=-(kР)/( x); W_y=-(kР)/( y);

W_z=-(kР)/( z);  W_x=-Р’/x; W_y=-Р’/y; W_z=-Р’/z (5)

Подставим (5) в уравнение (1), в результате получим ²Р’/x²+²Р’/y²+²Р’/z²=(m)/ t (6)

Или ²P’=(m)/t -оператор Гамильтона (7). Уравнение (6) или (7) справедливо для неустановившегося движения однородного флюида в однородной пористой среде по закону Дарси. В случае установившейся фильтрации в (6) выражение (m)/t=0.

Аналогия установившейся фильтрации сжимаемого флюида с фильтрацией несжимаемой жидкости.

Примем, что проницаемость среды и динамический коэффициент вязкости флюида постоянны, т.к. k=const, =const, =(Р). Тогда функция Лейбензона dР’=(Р)dP. Напишем закон Дарси для установившейся фильтрации несжимаемой жидкости в диф. форме, через дебит:

Q=-[kdP(s)]/ds (1),

где Q=const; (s)-площадь поперечного сечения струи.

(2). При установившейся фильтрации сжимаемого флюида по всей длине струи массовый расход сохраняется постоянным. Q_m=const.

(1) и (2) однотипные диф. уравнения, где объемный расход несжимаемой жидкости Q соответствует массовый расход сжимаемого флюида Q_m, а давлению Р соответствует функции Лейбензона Р’.

Установившаяся фильтрация упругой жидкости.

Найдем выражение функции Лейбензона для упругой жидкости (слабосжимаемой), описываемой уравнением состояния =₀ e^{ж(Р-Р0)}; тогда функция Лейбензона:

(3)

где _ж-коэффициент сжимаемости жидкости. Если _ж(Р-Р₀)<<1, то уравнение состояния упругой жидкости можно взять в следующем виде:

e^{ж(Р-Р0)}1+_ж(Р-Р₀),

тогда для ф-ции Лейбензона получим:

P’=(₀/_ж)[1+_ж(P-P₀)]+C=₀P+C₁ (4)

Подставив (4) в ур-е ²P’=0, получим:

²P’=²(₀P+C₁)= ₀²P=0.

Из последних выражений следует, что при установившейся фильтрации упругой жидкости плотность можно считать постоянной.