2.3 Парная регрессия на основе метода наименьших квадратов

и метода группировок

Парная регрессия характеризует связь между двумя признаками: результативным и факторным. Аналитически связь между ними описывается уравнениями прямой линии, гиперболы, параболы.

Оценка параметров уравнений регрессии: а_о, а₁, осуществляется методом наименьших квадратов, в основе которого лежит предположение о независимости наблюдений исследуемой совокупности и нахождении параметров моделей, при которых минимизируется сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от значений, полученных по уравнению связи признаков (регрессии). В формализованном виде это условие выглядит следующим образом:

Оценка параметров уравнений регрессии: а_о, а₁, осуществляется методом наименьших квадратов, в основе которого лежит предположение о независимости наблюдений исследуемой совокупности и нахождении параметров моделей, при которых минимизируется сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от значений, полученных по уравнению связи признаков (регрессии). В формализованном виде это условие выглядит следующим образом:

(4)

Парная линейная корреляция является простейшей системой корреляционной связи. Внимание к линейным связям объясняется ограниченной вариацией переменных и тем, что в большинстве случаев нелинейные формы связей для выполнения расчетов преобразуются в линейную форму.

В уравнениях регрессии свободный параметр а_о показывает усредненное влияние на результативный признак неучтенных в уравнении связи факторных признаков.

Коэффициент парной линейной регрессии а₁ показывает, на сколько изменяется в среднем значение результативного признака при увеличении факторного признака на единицу собственного измерения. Или коэффициент а₁ показывает вариацию результативного признака, приходящуюся на единицу вариации факторного признака. Расчет коэффициента парной линейной регрессии приведен в формуле.

(5)

Расчет свободного параметра уравнения парной линейной регрессии приведен в формуле.

(6)

2.4 Измерение характеристик тесноты связи между признаками

Измерение тесноты и направления связи является важной задачей изучения и количественного измерения взаимосвязи социально-экономических явлений. Оценка тесноты связи между признаками предполагает определение меры соответствия вариации результативного признака от одного (при изучении парных зависимостей) или нескольких (множественных) факторных и основывается на расчете и анализе приведенных ниже показателей.

Линейный коэффициент корреляции характеризует тесноту и направление связи между двумя коррелируемыми признаками в случае наличия между ними линейной зависимости. Этот показатель представляет собой стандартизованный коэффициент регрессии, т.е. коэффициент, выраженный не в абсолютных единицах измерения признаков, а в долях среднего квадратического отклонения результативного признака и вычисляется по формуле.

₍₇₎

Линейный коэффициент корреляции показывает отклонение признака-фактора от его среднего значения на величину своего среднего квадратического отклонения, что в среднем по совокупности приводит к отклонению признака результата от своего среднего значения на r_xy его среднего квадратического отклонения. В отличии от коэффициента парной линейной регрессии а₁ коэффициент корреляции r_xy не зависит от принятых единиц измерения признаков, а стало быть он сравним для любых признаков.

Квадрат коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации. Линейный коэффициент корреляции изменяется в пределах от – 1 до + 1. Знаки коэффициентов регрессии и корреляции совпадают. При этом интерпретацию выходных значений коэффициента корреляции можно представить в таблице 2.

Таблица 2 – Оценка линейного коэффициента корреляции

Значение линейного коэффициента связи	Характер связи	Интерпретация связи
r =0	Отсутствует	-
0 < r < 1	Прямая	С увеличением Х увеличивается У
-1 < r < 0	Обратная	С увеличением Х уменьшается У и наоборот
r = 1	Функциональная	Каждому значению факторного признака строго соответствует одно значение результативного признака

Корреляционное отношение также измеряет тесноту парной связи как при линейной, так и при нелинейной форме зависимости между ними и вычисляется по формуле.

где k — число групп по факторному признаку;

N - число единиц совокупности;

y_i - индивидуальные значения результативного признака;

у̅_j - его средние групповые значения;

у̅ - его общее среднее значение;

f_j - частота в j-й группе.

В числителе формулы стоит сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от его индивидуальных расчетных значений, т.е. доля вариации этого признака, не объясняемая за счет входящих в уравнение связи факторных признаков. Эта сумма не может быть равной нулю, если связь не является функциональной. При неверной формуле уравнения связи или ошибке в расчетах возрастают расхождения фактических и расчетных значений результативного признака, и корреляционное отношение снижается.