Отношения между сложными высказываниями

Сложные высказывания, в составе которых содержится хотя бы одно общее для них простое, могут находиться между собой в определенных отношениях: совместимых, если хотя бы в одном варианте логических значений входящие в их состав простые высказывания окажутся одновременно истинными, или несовместимых, если ни в одном варианте логических значений одновременно истинными быть не могут.

Совместимые высказывания могут находиться в следующих отношениях:

а) полной совместимости, или равнозначности;

б) частичной совместимости;

в) следования, или подчинения;

г) сцепления.

Несовместимые высказывания могут находиться в отношениях:

а) противоположности;

б) противоречия.

Кратко охарактеризуем эти отношения.

В отношении равнозначности находятся формы сложных высказываний, имеющих одинаковые логические значения по всем строчкам своих таблиц, т.е. когда истинному значению одного высказывания соответствует истинное значение другого, а ложному значению одного — ложное значение другого. В этом отношении находятся, к примеру, высказывания форм и p → q и ¬ q → ¬p

«Если комнатные цветы не поливать, то они засохнут» и «Если цветы не засохли, то их поливали». Формулы, выражающие равнозначные высказывания, называются логически эквивалентными.

P	Q	P → Q	¬Q → ¬P
И	И	И	И
И	Л	Л	Л
Л	И	И	И
Л	Л	И	И

В отношении частичной совместимости находятся высказывания, которые могут быть одновременно истинными, но не одновременно ложными: «Если повысить производительность труда, то произойдет снижение себестоимости продукции» и «Если снизится себестоимость продукции, то произойдет повышение производительности труда». Им соответствуют формы p → q и q → p

P	Q	P → Q	Q → P
И	И	И	И
И	Л	Л	И
Л	И	И	Л
Л	Л	И	И

В отношении следования, или подчинения, находятся высказывания, истинному значению одного из которых соответствует истинное значение другого, но не наоборот — например, высказывания «Если у четырехугольника попарно параллельные стороны, то этот четырехугольник — параллелограмм, а если четырехугольник — параллелограмм, то его диагонали, пересекаясь, делятся пополам» и «Если у четырехугольника попарно параллельные стороны, то его диагонали, пересекаясь, делятся пополам», которым соответствуют формы

(p → q) ^ ( q → r) и p ↔ r

p	q	r	(p → q) ^ (q → r)	p ↔ r
и	и	и	и	и
и	и	л	л	л
и	л	л	л	и
л	и	и	и	и
и	л	л	л	л
л	и	л	л	и
л	л	и	и	и
л	л	л	и	и

В отношении сцепления находятся высказывания, истинность (ложность) одного из которых не исключает ложности (истинности) другого высказывания «Если утром упадет туман, то днем будет солнечная погода» и « Если утром не упадет туман, то днем все равно будет солнечная погода», имеющие формы p → q и ¬p → q

p	q	p → q	¬p → q
И	И	И	И
И	Л	Л	И
Л	И	И	И
Л	Л	И	Л

В отношении противоположности находятся высказывания, которые не могут быть одновременно истинными, но могут быть одновременно ложными. Например, высказывания «Загорелся красный свет светофора и водитель остановился» и «Загорелся красный свет светофора и водитель не остановился», имеющие формы

p ^ q и p ^ ¬ q

p	q	p ^ q	p ^ ¬q
И	И	И	Л
И	Л	Л	И
Л	И	Л	Л
Л	Л	Л	Л

В отношении противоречия находятся высказывания, которые не могут быть одновременно истинными и ложными - «Если идет дождь, то небо покрыто тучами» и «Хотя и идет дождь, но небо не покрыто тучами», имеющие формы p → q и p ^ ¬q

p	q	p → q	p ^ ¬q
И	И	И	Л
И	Л	Л	И
Л	И	И	Л
Л	Л	И	Л