1.1 Основные понятия
Изучение теории дифференциальных уравнений начнем с наиболее простого уравнения - с уравнения первого порядка.
Определение 1. Уравнение вида
(1.1)
где x - независимая переменная, y - искомая функция, y’- ее производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.
Если уравнение (1.1) можно разрешить относительно y’, то его можно записать в виде
(1.2)
Определение 2. Уравнение (2) называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.
В
некоторых случаях уравнение (1.2) удобно
записать в виде 
или
в виде 
,
являющимся частным случаем более общего
уравнения
, (1.3)
где
и
–
известные функции. Уравнение в симметричной
форме (3) удобно тем, что переменные x
и y
в нем равноправны, т.е. каждую из них
можно рассматривать как функцию другой.
Приведем примеры дифференциальных уравнений вида (1.2) и (1.3):
,
,
и т.д.
Понятие общего и частного решения дифференциального уравнения. Задача коши
Интегрирование ДУ в общем случае приводит к бесконечному множеству решений (отличающихся друг от друга постоянными величинами). Чтобы решение ДУ приобрело конкретный смысл, его надо подчинить некоторым дополнительным условиям.
Определение
1.
Условие, что при 
функция у должна быть равна заданному
числу
,
т. е.
называется начальным
условием.
Начальное условие записывается в виде
.
(1.4)
Определение 2. Общим решением ДУ первого порядка называется функция
,
(1.5)
содержащая одну произвольную постоянную и удовлетворяющая условиям:
1)
функция 
является решением ДУ при каждом
фиксированном значении с;
2)
каково бы ни было начальное условие
,
можно найти такое значение постоянной
,
что функция 
удовлетворяет данному начальному
условию.
Определение
3. Частным
решением ДУ
первого порядка называется любая функция
,
полученная из общего решения
при конкретном значении постоянной
.
Определение 4. Если общее решение ДУ найдено в неявном виде, т. е. в виде уравнения Ф(х; у; с)=0, то такое решение называется общим интегралом ДУ.
Определение
5. Уравнение
Ф(х; у; 
)=0
в этом случае называется частным
интегралом ДУ.
Определение 6. Операцию нахождения решений дифференциального уравнения называют интегрированием дифференциального уравнения. Взятие интеграла называют квадратурой.
Определение 7. Задача отыскания решения ДУ первого порядка , удовлетворяющего заданному начальному условию , называется задачей Коши.
Пример:
Общее
решение
Частное
решение 
проходит через точку (1, 2).
1.3. Геометрический смысл уравнения и его решений
Определение
1.
Если
ввести на плоскости прямоугольные
декартовы координаты х
и у,
то решению уравнения y=
на этой плоскости будет соответствовать
кривая: график этой функции. Такая кривая
называется интегральной
кривой данного
дифференциального уравнения (название
сохраняется и в этом случае, когда
решение задается неявно).
Если рассмотреть дифференциальное уравнение первого порядка
(1.6)
То
интегральные кривые этого уравнения
характеризуются тем, что тангенс угла
наклона касательной (в этом состоит
геометрический смысл 
)
равен в каждой точке области, в которой
определена функция 
ее значению в этой точке. Поскольку
функция 
задана, можно, не имея самой интегральной
кривой, найти уравнение и построить
касательную к ней в каждой точке области
(x˳,
y˳):
+
.
Таким образом, в каждой точке области, где определена функция , можно провести прямую. Хотя эта прямая определяет направление на плоскости с точностью до знака, тем не менее говорят, что дифференциальное уравнение определяет в области на плоскости поле направлений.
Если рассмотреть множество точек, в которых выполняется равенство =k, то эти точки образуют на плоскости, вообще говоря, некоторую кривую, во всех точках которой касательные к интегральным кривым будут иметь одинаковый тангенс угла наклона, равный k, а значит, и одинаковый угол наклона, т.е. будут все параллельны.
Определение 1. Кривая, определяемая уравнением
=k,
называется изоклиной – линией равного наклона.
Эти кривые находят применение при геометрическом приближенном построении множества интегральных кривых для уравнения (1.6).
Задачу Коши для уравнения в геометрических терминах можно сформулировать так: среди всего множества интегральных кривых данного дифференциального уравнения найти такую, которая проходит через заданную точку с координатами (x˳, y˳).