3.Уравнение высших порядков, их общие решения
3.1. Уравнения вида
Уравнение
вида 
легко интегрируются в квадратурах.
Последовательными интеграциями получим:
;
и наконец,
где интегрирование произведено n раз. Точка выбирается произвольно из интеграла, на котором рассматривается данное уравнение. Это формула дает общее решение. Проиллюстрируем ее применение на примере.
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения
Имеем
(
в качестве точки
взяли точку 
) . Далее
и наконец,
Это и есть решение рассматриваемого уравнения.
Задания для закрепления:
Найти общее решение уравнений:
3.2. Уравнения, допускающие понижение порядка
Определение 1. Дифференциальные уравнения, порядок которых выше, чем единица, носят название уравнений высших порядков.
Построить общее решение или, как говорят, проинтегрировать такое уравнение – задача, по сравнению с уравнениями первого порядка, гораздо более сложная. Поэтому те случаи, когда это можно сделать, представляют особый интерес. Бывает так, что уравнение проинтегрировать не удается, но можно понизить его порядок. Это, как правило, существенно помогает и исследовать уравнение, и, если требуется, найти решение численно, т.е. вычислить значения решения в некотором наборе точек, получив решение в виде таблицы. Поэтому уравнения, порядок которых может быть понижен за счет соответствующей замены переменных, представляют собой важный класс уравнений высших порядков. Уравнения вида
очевидно, принадлежит этому классу. Для него удается представить общее решение в квадратурах.
Рассмотрим еще несколько случаев, когда возможно понижение порядка дифференциального уравнения.
1.Уравнения,
имеющий вид 
,...,
классифицируются как уравнения, не содержащие явно искомой функции y(x) и ее младших производных до порядка (k-1) включительно. Их порядок может быть понижен на k единиц. Для этого вводится в рассмотрение новая неизвестная функция
Тогда
И
заменяя
соответственно
на
получим
относительно
функции z(x)
дифференциальное уравнение порядка(n-k)
Если для него удастся найти общее решение
то общее решение исходного уравнения может быть найдено как общее решение уравнения типа, рассмотренного в п. 3.1.:
т. е последовательными интегралами.
2.Рассмотрим дифференциальное уравнения, имеющие следующий вид:
Это
дифференциальное уравнение второго
порядка классифицируется как уравнение,
не содержащее независимого переменного,
т.е. x.
Порядок такого уравнения может быть
понижен на лдну единицу. Это делается
путем введения новой неизвестной функции
q=q(y),
такой что
Тогда
Поэтому уравнение принимает вид
т.е. превращается в дифференциальное уравнение первого порядка. Если удастся найти его общее решение
то для искомого решения исходного уравнения получится уравнение
которое рассмотрено в п. 2.2. его общий интеграл дается формулой
с учетом решений, которые могут получаться из уравнения
(см.п. 2.2.).
Пример: Рассмотрим уравнение
Оно
не содерждит переменного х. Сделаем
замену y’=q(y).
Уравнение примет вид
Это
уравнение является уравнением с
разделяющимися переменными, его общий
интеграл имеет вид
Потенцируя
и разрешая соотношение относительно
q,
получим
.
Заменяя q
на y’
и интегрируя получающееся дифференциальное
уравнение, получим
.
Возведя в квадрат, преобразуем ответ к
виду 
.
Дополнительных решений здесь нет, поскольку не удовлетворяет исходному уравнению.
Пример. Решить задачу Коши: найти решение уравнения
удовлетворяющее
начальным условием y(-2)=1,
Решение.
Делая замену
приводим
уравнение к виду
Интегрируя, получим
или
При
x=-2,
как следует из начальных
условий,y=1,
Подставляя
эти значения в полученное уравнение,
имеем
откуда следует, что
При х=-2 это равенство должно иметь место. Поскольку
Теперь интегрируем это уравнение. Имеем
Или
Полагая
здесь
х=-2 и
учитывая, что при этом
у=1, найдем,
что
.
Теперь,
выражая
у через
х, получим
Это и есть искомое решение задачи Коши.
Задания для закрепления:
Решите уравнения:
