2.4. Уравнения с разделяющимися переменными
Определение 1. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида:
E(x)F(y)dx + G(x)H(y)dy = 0, (2.2)
Достаточно
умножить уравнение на функцию 
и оно приобретет вид:
dx
+
dy
= 0.
Общий интеграл этого уравнения имеет вид S(x,y) = C, где
S(x,y)
= 
Однако
при умножении уравнения на множитель
возможна потеря некоторых решений. Если
такого, что F(
)=
0, то у уравнения существует решение
у=
,
которого нет у уравнения. Кроме того, у
уравнения, записанного в дифференциальной
форме, возможны решения вида x=
.
И такое решение будет, в отличие от
уравнения, если G(
0.
В итоге имеем, что эти дополнительные
решения должны быть присоединены к тем
решениям, которые определяются выражением
S(x,y)=С.
Пример: Пусть требуется решить ДУ
Без труда распознаем в нем уравнение с разделяющимися переменными и производим их разделение. Получим
В
качестве точки
берем точку (0, 0). Интегрируя получим:
Потенцируя, получим:
Здесь константа была записана в виде lnC для удобства записи окончательного результата; при потенцировании модули опущены за счет того, что постоянной С, которая стояла под знаком логарифма и была обязана быть положительной, теперь разрешается принимать любые значения. При этом решение х=-1 получается при С=0, а решение у=-1 не получается ни при каком значении С. Поэтому его следует учитывать дополнительно.
Задания для закрепления:
1) Найти общее решение уравнений:
2) Найти частное решение, соответствующее заданному начальному условию:
2.5. Однородные уравнения
Многие дифференциальные уравнения, не являясь уравнениями с разделяющимися переменными, приводятся к ним с помощью замены переменных.
Определение 1. Однородными дифференциальными уравнениями называются уравнения, общий вид которых:
. (2.3)
При решении таких уравнений делается замена переменной у по формуле у=и(х)х, где и – новая переменная. Тогда
Подставляя эти выражения в уравнение, получим
Интегрирование дает
Ф(и)-ln│x│=C,
где
Ф(u)
– одна из первообразных функций функции
.
Заменяя
,
получаем:
Множество
решений, даваемых этой формулой, должно
быть дополнено решениями вида
,
если
,
или
.
Пример. Найти общее решение уравнения:
.
Устанавливаем, что данное уравнение является однородным: Полагаем y=ux, y’=u’x+u, затем получаем уравнение с разделяющимися переменными
или
Интегрируем обе части последнего уравнения:
Задания для закрепления:
Найти общее решение ДУ:
2.6. Линейные уравнения
Определение 1. Дифференциальное уравнение называется линейным, если его правая часть является линейной функцией (т.е. первой степени) относительно у. Линейное уравнение имеет вид:
(2.4)
где
функции 
и 
непрерывны на интервале (
).
Определение 2. Если =0 на интервале ( ), то уравнение называется линейным однородным и имеет вид
(2.5)
Его общее решение может быть представлено в виде
Где
)
– первообразная функция по отношению
к
на интервале (
),
т.е.
Если
не
является функцией, тождественно равной
нулю на (
),
то уравнение (2.4) называется линейным
неоднородным уравнением, а а уравнение
(2.5) – линейным однородным , соответствующим
уравнению (2.4). Общее решение неоднородного
уравнения обычно находят с помощью
приема, называемого вариацией постоянной.
В чем заключается этот метод? Общее
решение неоднородного уравнения ищут
в виде 
,
т.е. в той форме, которую имеет общее
решение соответствующего однородного
уравнения, но с той разницей, что здесь
и является неизвестной функцией. Замена
произвольной постоянной 
в выражении для общего решеня однородного
уравнения 
на функцию 
и объясняет название метода. Для того
чтобы найти
,
надо подставить выражение
в неоднородное уравнение (2.4). Получим
Поскольку
- первообразная для
,
то 
,
и уравнение упрощается:
или
.
Если
– первообразная по отношению к функции
,
то 
,
где
– произвольная постоянная. Таким
образом, решение неоднородного линейного
уравнения имеет вид
,
Где - первообразная по отношению к ; - первообразная по отношению к функции .
Пример. Рассмотрим линейное неоднородное уравнение
.
Здесь
.
В качестве
возьмем
.
Тогда
и 
.
Следовательно, общее решение имеет вид
.
Задания для закрепления:
Найти общее решение уравнений:
Решить задачу Коши для линейного уравнения первого порядка:
