2. Частные методики построения линейных моделей

В зависимости от поставленной цели математические модели, построенные на основе апроксимации истинной функции одного или нескольких зависимых параметров оценочными уравнениями, могут видоизменяться. Если в общем виде смешанная модель уравнений представлена как у=Хb+2u+е, то для конкретной ситуации (оценка племенной ценности животных, определение различного типа взаимодействий, аддитивного или материнского эффекта гетерозиса, вычисление эффективности скрещивания) данная модель должна быть трансформирована. Трансформация модели зависит также от способа представления данных (фиксированные или рэндомизированные) и степени их заполненности по категориям, классам, градациям. В связи с этим возникает необходимость формализации методов и технологии вычислений для определения конкретных характеристик оцениваемых функций.

1. Простая линейная регрессия

Модель линейной регрессии может быть представлена как:

y_i = а + bх_i + е_i ,

4. y_i – зависимая наблюдаемая переменная;

a – свободный член уравнения;

b – коэффициент регрессии;

х_i – независимый параметр (эффект);

е_i – ошибочное значение, связанное с каждым конкретным наблюдением.

Ошибочное значение представляется как рэндомизированный эффект, поэтому:

, ;

для всех i≠j.

Линейная квадратичная оценка подразумевает минимизацию всех сумм квадратов отклонений между наблюдаемыми и ожидаемыми значениями. Для i-ого наблюдения такое отклонение составляет e_i=у_i-Е(у_i). Тогда сумма квадратов отклонений для N коров:

.

Приравнивая частные дифференциалы и к нулю, получаем:

;

.

Отсюда:

;

;

5. – среднее значение параметра «у»;

– среднее значение параметра «х».

После вычисления и регрессия может быть оценена при помощи оценочной функции:

.

Проверка параметров, включенных в модель, проводится в следующей последовательности:

1. Оценка вариансы.

Определяются суммы квадратов:

– общая сумма квадратов;

– значимая (факториальная) сумма квадратов;

– регрессионная сумма квадратов;

SSE = SST – SSM – SSR – ошибочная сумма квадратов.

Оценка вариансы ошибок:

2. Под нулевую гипотезу необходимо проверить соотношения:

   • для проверки гипотезы Е( )=0:

~ – табулированное значение критерия Фишера для (1, N-2) степеней свободы;

• для проверки гипотезы b=0:

~ ;

• для проверки гипотезы а=0 необходимо переписать модель:

и сравнить суммы квадратов из этой модели (SSE*) и предыдущей модели (SSЕ):

~

Для нахождения SSE* следует вычислить:

;

;

;

;

.

Если вычисленные F-значения больше табулированных величин F-критерия (с заданной степенью достоверности), то параметры модели значимы (нулевая гипотеза отвергается), и модель может быть использована в практической деятельности.

Пример.

Имеется следующий набор наблюдений, охватывающий шесть коров:

Животные	Концентраты (х ), кг	Суточный удой (у), кг
1	12	35,0
2	5	17,5
3	9	25,0
4	1	12,5
5	7	27,5
6	3	17,5

Необходимо построить уравнение линейной регрессии суточного удоя на суточную дачу концентрированных кормов.

Для исходной выборки вычисляем необходимые суммы:

; ; ; ; ; .

Тогда сумма коэффициента «b» будет вычисляться так:

.

Соответственно;

,

и уравнение линейной регрессии будет иметь вид:

.

Для проверки корректности построенной зависимости необходимо вычислить суммы квадратов:

;

;

.

Отсюда оценка остаточной вариансы:

.

Для проверки гипотезы Е( )=0 определяем:

и, сравнивая с табулированным значением по критерию Фишера для df=1,4, получаем Р<0,01.

Аналогичным образом для проверки гипотезы b=0 вычисляем:

,

что тоже имеет высокую достоверность (Р<0,01).

Вывод: Модель вычисляется для значимой вариации в молочной продуктивности (суточном удое). Уравнение наилучшей линейной несмещенной оценки молочной продуктивности, основанной на массе концентрированных кормов в рационе животных, имеет вид:

.

Для проверки возможности применения модели, не содержащей свободный член «а», вычисляем:

;

;

;

Тогда:

.

Следовательно, необходимо отвергнуть нулевую гипотезу Н₀: а=0 и принять альтернативу Н_а: а≠0, т. е. нами выбирается уравнение линейной регрессии, содержащее свободный член.