4. Двухпутевые классификации

Под двухпутевыми классификациями понимаются модели, включающие два независимых параметра. Двухпутевые классификации могут быть подразделены на перекрестные и гнездовые.

1. Двухпутевая перекрестная модель

Согласно общему определению, модель двухпутевой перекрестной классификации имеет вид:

,

16. b_i – фиксированный независимый эффект;

S_j – фиксированный независимый эффект;

e_ijk – остаточный рэндомизированный эффект с нулевой средней и вариансой ;

y_ijk – наблюдаемое значение (измерение) параметра, по уровню развития которого производится оценка;

µ – популяционное значение (константа).

В матричной форме исходное уравнение выглядит как:

.

Решение данного уравнения представляется в виде:

.

Расписывая искомый параметр «b» как вектор конкретных неизвестных и , получаем:

.

Для получения обобщенной инверсии необходимо определить ранг матрицы Х′Х:

.

Варианса ошибки ( ) должна быть оценена в следующей последовательности:

1. Вычисление сумм квадратов:

;

;

.

2. Вычисление вариансы ошибки:

.

Как уже отмечалось, решение уравнений относительно параметров и является только решением, а не оценкой эффектов или их соотношений. Оценка же эффектов осуществляется при помощи так называемых оценочных функций, которые представляют собой математические ожидания отдельных наблюдений или их линейные комбинации. Например, оценка ijk-ого наблюдения может быть представлена в виде ; оценка разности двух наблюдений ijk и ijm:

;

оценка разности между двумя конкретными уровнями параметра «b»:

;

оценка разности между двумя конкретными уровнями параметра S:

.

В месте с тем необходимо отметить, что прямую оценку или невозможно осуществить, поскольку оцениваемые функции не могут быть представлены как линейная комбинация математических ожиданий.

Кроме этого, следует обратить внимание на то, что для оценки какого-либо конкретного параметра совершенно не обязательно иметь его наблюдение в исходном массиве, а достаточно знать оценки , , .

В ариансы оценочных функций определяются согласно

,

а стандартная ошибка, например, оцениваемой разности двух параметров, как

.

Зачастую в практике биологических исследований на вектор решений исходной модели накладывается ограничение так, что

,

17. и представляют собой решения модели с данными ограничениями.

Пересчет решений и осуществляется согласно следующим формулам:

;

;

18. p – число градаций b-параметра;

q – число градаций S-параметра.

Тогда решение для можно определить как

.

Ограничения такого рода, накладываемые на исходную модель, ведут к процедуре, известной как «значения наименьших квадратов», которые представляют собой простую сумму решений для константы ( ) и искомого параметра. Очень важно отметить, что решения типа ( ) не являются оценкой ( ), поскольку ( ) не может быть оценена. Достаточно легко показать, что ( ) не что иное, как оценка ( ), которая является линейной комбинацией математических ожиданий наблюдений относительно b_i-параметра. Варианса наименьшего квадратичного значения описывается согласно общепринятой формулы

.

Однако вектор «K» в такой ситуации обязательно должен содержать значимые значения для «оставшегося» параметра модели, каждая из градаций которого представляет дробь типа 1/n, где n – число градаций фактора.

В принципе решить исходную модель с ограничениями можно непосредственно (не получая решения для модели без ограничений). С этой целью исходная матричная форма решений дополняется множителями Лагранжа. Число множителей Лагранжа (или число дополнительных строк и столбцов) определяется количеством независимых эффектов, включенных в модель. Например, в двухпутевой классификации число таких строк (столбцов) будет равно двум. Общая формула уравнения может быть представлена в виде:

,

19. λ – вектор множителей Лагранжа.

Анализ вариансы в двухпутевой классификации начинается с определения редуцированных сумм квадратов:

– редуцированная сумма квадратов полной модели;

– редуцированная сумма квадратов модели, включающей в себя только параметр µ;

– редуцированная сумма квадратов модели, определяющая эффекты «µ» и «b» (т.е. );

– редуцированная сумма квадратов модели, определяющая эффекты «µ» и «S» (т.е. ).

Таблица анализа вариансы в этом случае может быть представлена в следующем виде:

Таблица 2.2.

ANOVA

Источник	df	Суммы квадратов	Средний квадрат	F-соотношение
Популяционная средняя (константа)	1
Модель	r–1
Варианса	N–r			—

В таблице 2.2. сумма квадратов модели (SSR_m) не разделяет влияние S- и b-параметров. В этой связи более информативна таблица, построенная на основе вычисления:

и .

Для вычисления указанных редуцированны сумм необходимо определить и , которые находятся согласно моделям однопутевой классификации и :

;

.

Тогда:

;

.

В такой ситуации таблица анализа вариансы имеет вид:

Таблица 2.3.

ANOVA

Источник	df	Суммы квадратов	Средний квадрат	F-соотношение
Популяционная средняя	1
b-фактор после S-фактора	i-1
S-фактор после b-фактора	j–1
Остаточный эффект	N-i-j–r			—

В этой ситуации проверка «b-фактор после S-эффекта» определяет эквивалентность всех b-факторов в модели, а «S-фактор после b-эффекта» проверяет равенство всех S-факторов. Альтернативным способом вычисления равенства всех градаций S-факторов и b-эффектов является метод проверки гипотезы, который подразумевает вычисление числителя сумм квадратов Q. Методика его расчета может быть представлена как:

1. Определение вида матрицы оценочной функции:

;

2. Определение матрицы , где -вектор решений для b- и S-параметров (в зависимости от цели проверяемой гипотезы можно использовать подвекторы и отдельно).

3. Вычисление матрицы .

4. Инвертирование матрицы .

5. Определение числителя сумм квадратов:

.

В зависимости от выбора матрицы K в результате получаем:

;

.

Разделив вычисленные показатели на произведение числа степеней свободы на среднеквадратичную ошибку и сравнив результат с табулированным значением F-критерия, получаем итоговое тестирование гипотез:

против ;

против .

Пример:

Был проведен эксперимент для определения влияния кормового рациона на прирост живой массы животных. Первичные результаты сведены в таблицу:

Рацион	Отец	Прирост	Рацион	Отец	Прирост	Рацион	Отец	Прирост
1	1	5	1	4	7	3	2	9
1	1	6	2	1	2	3	3	6
1	2	2	2	1	3	3	3	8
1	2	3	2	3	4	3	4	3
1	2	5	2	3	4	3	4	5
1	2	6	2	3	6	3	4	6
1	2	7	2	3	6	3	4	7
1	4	3	2	3	7
1	4	6	3	2	8

Эту таблицу можно преобразовать в две сводные таблицы: