1.3. Поняття про визначники вищих порядків

За означенням визначник п-го порядку дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) на їхні алгебраїчні доповнення.

Для прикладу розглянемо визначник четвертого порядку

.

Даний визначник можна розкласти за елементами будь-якого рядка, наприклад першого:

(1.5)

Оскільки, всі алгебраїчні доповнення у формулі (1.5) є визначниками третього порядку, то цією формулою можна користуватися для обчислення визначника четвертого порядку. Але даний спосіб обчислення є громіздким: якщо для обчислення визначника четвертого порядку потрібно обчислювати чотири визначники третього порядку, то для знаходження визначника п’ятого порядку потрібно обчислювати двадцять визначників третього порядку. Тому на практиці спочатку за допомогою властивості 8 перетворюють визначник так, щоб у деякому рядку чи стовпці всі елементи, крім одного стали нулями. Тоді розкладаючи визначник згідно з теоремою за елементами цього рядка, дістанемо тільки один доданок, тому що всі інші доданки є добутками алгебраїчних доповнень на нуль.

Приклад. Обчислимо визначник 4-го порядку .

У першому рядку перетворимо всі елементи, крім першого, на нулі. Для цього, залишаючи перший і другий стовпці без змін, до третього додамо перший, а до четвертого – перший, помножений на (-2). Тоді

.

Розклавши цей визначник за елементами першого рядка, отримаємо:

.

Лекція 3-4. Визначення матриці. Дії над матрицями. Обернена матриця. Ранг матриці. Теорема про ранг.

2.1. Визначення матриці

Прямокутна таблиця чисел , і=1, 2, ... , m; j=1, 2, ... , n, складена з m рядків та п стовпців і записана у вигляді

де – елементи матриці, причому індекс і в елементі номер рядка, номер стовпця на перетині яких стоїть даний елемент; m – число рядків матриці, n – число її стовпців.

Символічний запис добутку числа рядків m на число стовпців n називають розміром матриці і позначають mn. Якщо хочуть вказати розмір mn матриці А, то пишуть А_mn.

Матриця в якої число рядків дорівнює числу стовпців (m=n), називається квадратною. Кількість рядків (стовпців) квадратної матриці називається її порядком. Матриця, у якої всього один рядок називається матрицею-рядком, а матриця у якої всього один стовпець – матрицею-стовпцем. Дві матриці А_mn=(а_ij) та B_mn=(b_ij) називаються рівними, якщо вони однакових розмірів і мають рівні відповідні елементи: а_ij=b_ij. Нульовою називається матриця, у якої всі елементи дорівнюють нулю. Позначається така матриця буквою О.

Квадратна матриця називається діагональною, якщо всі її елементи, крім тих, що знаходяться на головній діагоналі, дорівнюють нулю. Діагональна матриця, у якої кожен елемент головної діагоналі дорівнює одиниці, називається одиничною і позначається буквою Е.

Кожній квадратній матриці можна поставити у відповідність певне число, яке визначається єдиним способом з використанням всіх елементів матриці. Це число називається визначником (детермінантом) і позначається символом detA.

Прямокутна матриця розміром m=n (nm) визначника не має.