2. Множення вектора на число.

Добутком вектора на число λ називається новий вектор такий, що:

1. ;

2. вектор колінеарний вектору ;

3. вектори і однаково напрямлені, якщо λ>0 і протилежно, якщо λ<0. (Якщо λ=0, то з умови 1 випливає, що ).

Добуток вектора на число λ позначається .

Дана операція має наступні властивості:

4. Для будь-яких чисел a і b і вектора виконується рівність .

Дійсно, вектори, які розміщені в обох частинах рівності мають однакову довжину . Крім того, ясно, що вони однаково напрямлені, тому що їх напрямок збігається з напрямком вектором , якщо a і b одного знаку, і протилежного напрямку з , якщо a і b різних знаків.

5. Нехай даний вектор . Для будь-якого колінеарного йому вектора існує і притому тільки одне число, яке задовільняє рівністі .

Доведення властивості 2:

1. Нехай . Розглянемо вектор . Очевидно, . Крім того , тому . З цих двох властивостей випливає, що , а значить .

2. Аналогічно, якщо . Тоді .

Єдине значення числа λ випливає з того, що при множенні вектора на два різних числа, одержуємо два різних вектори.

Лінійною комбінацією n векторів a₁, a₂,…,a_n ми будемо називати суму добутків цих векторів на довільні дійсні числа, тобто вираз виду

,

де ₁, ₂,…_n довільні дійсні числа.

Вектори a₁, a₂,…,a_n називаються лінійно залежними, якщо існують такі дійсні числа ₁, ₂,…_n, з яких хоча б одне відмінне від нуля, що лінійна комбінація векторів a₁, a₂,…,a_n із зазначеними числами перетвориться в нуль, тобто має місце рівність

або .

Вектори a₁, a₂,…,a_n називаються лінійно незалежними, якщо рівність нулю їхньої лінійної комбінації можлива тільки у випадку, коли всі числа ₁, ₂,…_n дорівнюють нулю.

4.3. Скалярний добуток двох векторів

Скалярним добутком двох векторів називається число, рівне добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними. Так за визначенням можна записати: ab=|a||b| cos, де .

Кутом між двома векторами a і b називається кут, що не перевершує , між двома променями які виходять із однієї точки, один із яких має напрямок, що співпадає з напрямком вектора a, інший має напрямок який співпадає із напрямком вектора b.

Алгебраїчні властивості скалярного добутку:

1. ab=ba (переставна властивість);

2. (a)b=(ab) (сполучна властивість відносно числового множника);

3. (a+b)c=ac+bc (розподільна властивість відносно суми векторів);

4. aa>0, якщо a – ненульовий вектор, і aa=0, якщо a – нульовий вектор.

Множина векторів простору утворює тривимірний лінійний простір. Цей простір має стандартний базис , , і кожен вектор однозначно задається у вигляді лінійної комбінації , де x, y, z є координатами вектора .

Теорема: Якщо два вектори a і b визначені своїми декартовими прямокутними координатами a=(x₁,y₁,z₁), b=(x₂,y₂,z₂), то скалярний добуток цих векторів дорівнює сумі попарних добутків їх відповідних координат – ab= x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂.

Доведення.

Складемо табличку скалярних добутків трійки базисних векторів –

ii=1	ji=0	ki=0
ij=0	jj=1	kj=0
ik=0	jk=0	kk=1

Далі, з огляду на те, що a=x₁i+y₁j+z₁k, b=x₂i+y₂j+z₂k, і використовуючи властивості скалярного добутку, отримаємо

ab=x₁x₂ii+x₁y₂ij+x₁z₂ik+y₁x₂ji+y₁y₂jj+y₁z₂jk+z₁x₂ki+z₁y₂kj+z₁z₂kk.

З таблиці отримаємо необхідне.

Наслідок 1: Необхідною і достатньою умовою ортогональності двох векторів a=(x₁,y₁,z₁) і b=(x₂,y₂,z₂) є рівність – x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂=0.

Наслідок 2: Кут  між векторами a=(x₁,y₁,z₁) і b=(x₂,y₂,z₂) визначається за формулою: