2.4. Ранг матриці, теорема про ранг.

Нехай задано матрицю . Виділимо в матриці А будь-які k і стільки ж стовпців, де k – число, не більше чисел m, n, тобто k≤min(m, n).

Визначник порядку k, складений з елементів, що стоять на перетині виділених рядків і стовпців, називається мінором k-го порядку матриці А.

Рангом r(A) матриці А називається найбільший з порядків її мінорів, відмінних від нуля. Очевидно, що значення рангу матриці не може перевищувати меншу з її розмірностей.

Ранг матриці можна знайти так. Якщо всі мінори першого порядку (елементи матриці) дорівнюють нулю, то r=0. Якщо хоч один з мінорів першого порядку відмінний від нуля, а всі мінори другого порядку дорівнюють нулю, то r=1. У випадку, коли є мінор другого порядку, відмінний від нуля, досліджуємо мінори третього порядку. Так продовжуємо доти, поки не станеться одне з двох: або всі мінори порядку k дорівнюють нулю, або мінорів порядку k не існує r=k-1.

Приклади:

1. , r(A)=0.

2. . Матриця В містить єдиний ненульовий елемент – який є мінором 1-го порядку. Усі визначники більш високих порядків, складені з елементів цієї матриці, будуть містити 0-ий рядок і тому рівні 0. Отже, r(B)=1.

3. . Єдиним мінором 3-го порядку є визначник матриці С, але він дорівнює 0, оскільки містить пропорційні стовпці. Отже, r(C)<3.

Для того, щоб довести, що r(C)=2, досить вказати хоча б один мінор 2-го порядку, не рівний 0, наприклад, Відповідно, r(C)=2.

4. , отже, r(E)=3.

Зауваження. Для матриць великої розмірності безпосередньо обчислити всі мінори важко. Тому в цьому випадку можна перетворити матрицю до так званого трикутного вигляду (коли елементи, що стоять нижче рівні 0), скориставшись операціями, що не змінюють ранг матриці (еквівалентними перетвореннями). До них відносяться:

1. транспонування;

2. множення рядка на ненульове число;

3. перестановка рядків;

4. додаток до елементів даного рядка елементів будь-якого іншого рядка, помножених на ненульове число;

5. викреслення нульового рядка.

Дійсно, кожна з цих операцій переводить нульові мінори в нульові, а ненульові – у ненульові. Матриця, отримана в результаті, не дорівнюватиме вихідній, але має той же ранг.

Приклад. Знайдемо ранг матриці . Теоретично ранг цієї матриці може приймати значення від 1 до 4, тому що з елементів матриці можна створити мінори по 4-го порядку включно. Але замість того, щоб обчислювати всі можливі мінори 4-го, 3-го і т.д. порядку, застосуємо до матриці А еквівалентні перетворення. Спочатку доб’ємося того, щоб у першому стовпці всі елементи, крім першого, дорівнювали 0. Для цього запишемо замість другого рядка його суму з першим, а замість третього – різницю третього і подвоєного першого:

.

Потім від третього рядка віднімемо другий, а до четвертого додамо другий:

.

Після викреслення нульових рядків одержимо матрицю розмірності для якої максимальний порядок мінорів, а, отже, і максимально можливе значення рангу дорівнює 2:

.

Її мінор отже,

Базисним мінором матриці називається будь-який її ненульовий мінор, порядок якого дорівнює рангу матриці.

Рядки (стовпці) матриці називаються лінійно залежними, якщо існує їх лінійна комбінація, не всі коефіцієнти в якій рівні 0.

Теорема 2.3. Рядки і стовпці матриці, елементи яких входять у базисний мінор, лінійно незалежні. Будь-який рядок (стовпець) матриці є лінійною комбінацією цих рядків (стовпців).

Доведення (для рядків).

1. Якщо б базисні рядки були лінійно залежними, то за допомогою еквівалентних перетворень з них можна було б отримати нульовий рядок, що суперечить умові, що базисний мінор не дорівнює 0.

2. Рядок, що входить у базисний мінор, є лінійною комбінацією його рядків, у якій коефіцієнт при даному рядку дорівнює 1, а інші коефіцієнти рівні 0.

Доведемо цю властивість для рядка, що не входить у базисний мінор.

Додамо до базисного мінору цей рядок (нехай його номер – k) і будь-який стовпець матриці (нехай його номер – j). Потім розкладемо отриманий визначник, рівний 0 (тому що його порядок більший рангу матриці) по j-му стовпці:

Оскільки є базисним мінором, тому, розділивши отриману рівність на , знайдемо, що

для всіх j=1,2,…,n, де . Отже, обраний рядок є лінійною комбінацією базисних рядків. Теорема доведена.