6. Свёртка дискретных функций.

Если дискретные функции

Имеют соответственно изображения X1(z) b X2(Z), то можно показать, что

Эта формула аналогична соответствующему выражению для свертки двух непрерывных функций.

7. Методы численного интегрирования. Метод прямоугольников.

Интегрирование непрерывного сигнала описывается уравнением

Для приближенной реализации интегрирования в дискретной форме имеется ряд

алгоритмов. Ограничим класс рассматриваемых алгоритмов дискретного интегрирова-

ния алгоритмами, которые можно описать разностным уравнением

y(n) = y(n −1) + δy[x(n), x(n −1),T] , (1)

где y(n) – выходная последовательность, представляющая собой оценку интеграла,

δy[x(n), x(n −1),T] – величина приращения на очередном интервале дискретизации, за-

висящая от применяемого способа интегрирования.

Интегрирование по методу прямоугольников. Величина приращения в уравне-

нии (1) находится как площадь прямоугольника (рис. 1). В этом случае разност-

ное уравнение дискретного интегратора принимает вид

y(n) = y(n −1) +T ⋅ x(n −1) . (2)

Подвергнув уравнение z -преобразованию, получим передаточную функцию дис-

кретного интегратора

Рисунок 1. Геометрическое представление интегрирования по методу прямоугольников.

Численные методы. Метод прямоугольников.

Рассмотрим простейшие методы из класса методов Ньютона-Котеса, когда подынтегральную функцию на интервале интегрирования заменяем полиномом нулевой степени, т.е. константой. Подобная замена является неоднозначной, так как константу можно выбрать равной значению подынтегральной функции в любой точке в интервале интегрирования. Приближенное значение интеграла определится как площадь прямоугольника, одна из сторон которого есть длина отрезка интегрирования, а другая – аппроксимирующая константа. Отсюда происходит и название методов. Из методов прямоугольников наименьшую погрешность имеет метод средних прямоугольников, когда константу берем равной значению в средней точке интервала интегрирования (рис. 6.1).

Методы левых (рис. 6.2) и правых прямоугольников (рис. 6.3), заменяющих интеграл нижней и верхней суммами Дарбу, имеют сравнительно высокую погрешность. Запишем выражение для интеграла на интервале , полученное методом средних прямоугольников,

Рис. 6.1. Метод средних прямоугольников

(6.3)

где и оценим погрешность . Для этого разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора около средней точки

(6.4)

в малой окрестности точки этот ряд с высокой точностью представляет функцию при небольшом количестве членов разложения. Поэтому, подставляя под интеграл вместо функции ее тейлоровское разложение (6.4) и интегрируя его почленно, можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью

(6.5)

Рис. 6.2. Метод левых прямоугольников

Рис. 6.3 Метод правых прямоугольников

При интегрировании и подстановке пределов получаем, что все интегралы от членов ряда (6.4), содержащих нечетные степени , обращаются в нуль.

Сравнивая соотношения (6.3) и (6.5), можно записать выражение для погрешности . При малой величине шага интегрирования основной вклад в погрешность будет вносить первое слагаемое, которое называется главным членом погрешности вычисления интеграла на интервале

(6.6)

Главный член полной погрешности для интеграла на всем интервале определится путем суммирования погрешностей на каждом частичном интервале

(6.7)

К последнему интегралу перешли, используя метод средних прямоугольников для функции

Формула (6.7) представляет собой теоретическую оценку погрешности вычисления интеграла методом средних прямоугольников, эта оценка является априорной, так как не требует знания значения вычисляемого интеграла. Оценка (6.7) не удобна для практического вычисления погрешности, но полезна для установления структуры главного члена погрешности. Степень шага , которой пропорциональна величина , называется порядком метода интегрирования. Метод средних прямоугольников имеет второй порядок.

Аналогично проведем априорную оценку метода левых прямоугольников. Разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора около точки

(6.8)

Интегрируя разложение (6.8) почленно на интервале , получим

где первое слагаемое есть приближенное значение интеграла, вычисленное по методу левых прямоугольников, второе слагаемое является главным членом погрешности

(6.9)

На интервале главный член погрешности интегрирования получим суммированием частных погрешностей (6.9)

(6.10)

Метод левых прямоугольников имеет первый порядок, погрешность у него будет больше по сравнению с методом средних прямоугольников и за счет интеграла от производной , и коэффициента в знаменателе (6.10). Обычно для большинства функций выполняется неравенство

. (6.11)

Однако если подынтегральная функция определяется из эксперимента в дискретном наборе узлов, то метод средних прямоугольников применить нельзя из-за отсутствия значений в средних точках В этом случае для интегрирования используются другие методы Ньютона-Котеса.