9. Методы численного интегрирования. Метод Симпсона.

Существует множество методов приближенного вычисления одномерных интегралов. Сначала строятся простейшие формулы для приближенного вычисления интегралов по отрезку. Такие формулы называются квадратурными. Повышение точности вычисления интегралов осуществляется за счет повышения порядка точности квадратур, за счет разбиения отрезка на части, за счет сведения интегралов от функций с «особенностями» к интегралам от более гладких функций.

Задача численного интегрирования функции заключается в вычислении значения определенного интеграла на основании ряда значений подынтегральной функции.

Ставится задача вычислить интеграл вида

(6.1)

где и – нижний и верхний пределы интегрирования;

– непрерывная функция на отрезке

К численному интегрированию обращаются, когда нельзя через элементарные функции аналитически записать первообразную интеграла (6.1) или когда подобная запись имеет сложный вид.

С ущность метода трапеций состоит в замене подынтегральную функции интерполяционным полиномом второй степени – параболой, проходящей через узлы (рис. 6.5 - Метод Симпсона)

где – погрешность вычисления интеграла.

Для записи полинома воспользуемся интерполяционной формулой Ньютона для трех узлов

(6.26)

где –

разделенные разности; – расстояние между узлами.

Введем новую переменную тогда и полином (6.26) принимает вид

(6.27)

Теперь вычислим интеграл от полинома (6.27)

(6.28)

Последнее соотношение называют квадратурной формулой Симпсона, или формулой парабол.

Формулу Симпсона можно получить и с помощью первой и второй формул Рунге, примененных к вычислению интеграла методом трапеций. Запишем два приближенных значения интеграла от функции на интервале с шагом и по формуле трапеций (6.20).

(6.29)

Интегралы (6.29) подставим в формулы (6.15) и (6.16) и получим уточненное значение интеграла

которое совпадает с формулой Симпсона (6.28).

Для оценки погрешности формулы Симпсона разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора около точки и проинтегрируем разложение почленно в интервале

(6.30)

Суммируя разложения около точки для функции в узлах и получим, что тогда интеграл (5.30) примет вид

(6.31)

Первое слагаемое в правой части формулы (6.31) совпадает с формулой Симпсона, значит, второе слагаемое является главным членом погрешности для интеграла на интервале (6.32)

Если интеграл вычисляется на интервале путем разбиения его на четное число подынтегралов , на каждой паре которых применяется формула Симпсона для узлов то полная погрешность будет суммой правых частей соотношения (6.32). При малой величине шага на основании метода средних прямоугольников получим

тогда полная погрешность запишется в виде

(6.33)

Формула Симпсона имеет четвертый порядок точности с очень малым численным коэффициентом в остаточном члене. Формула Симпсона позволяет получить высокую точность, если четвертая производная подынтегральной функции не слишком велика. В противном случае методы второго порядка могут дать большую точность, чем метод Симпсона.