Вариант 3

1. а) + + б) АВ + ВС + АС

2. 5!/2! = 60. Мы выбираем из пяти три, порядок расстановки поездов нам важен, потому применяем формулу .

3. 6 можно получить, выбросив 1-5, 5-1, 2-4, 4-2, 3-3. 8 можно получить, выбросив 2-6, 6-2, 3-5, 5-3, 4-4. Одинаковое количество комбинаций, вероятность и для 6 очков, и для 8 очков равна 5/36.

4. Раз события независимы, находим вероятность того, что корреспондент услышит радиста, через произведение вероятностей. Вообще услышит – это хотя бы раз из трех. Проще найти вероятность того, что корреспондент не услышит радиста, и отнять ее от единицы: 1 - 0.8*0.7*0.6 = 0.664

5. Формула Байеса. (0.25*0.05)/(0.25*0.05+0.35*0.04+0.4*0.02) = 25/69

6. МХ = 2*6/10 = 1.2 р(0) = = 2/15 р(1) = = 8/15 р(2) = = 1/3

7. Равномерное распределение. Среднее время ожидания ищется по формуле (а+в)/2, где а, в – границы интервала (0;5). Среднее время ожидания = 2.5. Вероятность того, что время ожидания превысит 3 минуты, ищем по формуле (1/(в-а))*(β-α), где α и β – левая и правая границы исследуемого отрезка внутри интервала, т.е. от 3 до 5. Получаем вероятность, равную 2/5.

8. Неравенство Маркова. Р(Х>60)<20/60; P<1/3.

Вариант 10

1. а) АВ + А С + ВС б) А + В + С

2. = 4704. Вратаря можно выбрать 1 из двух, защитников – 2 из восьми, нападающих – 3 из 9, отсюда все С.

3. Менее трех очков – 1, 2 на каждой из. Всего таких вариантов 20. Вероятность 5/9.

4. Классическая вероятность. Р = 3/15.

5. Рассматриваем два случая: когда переложили бракованное изделие, и когда переложили небракованное. Вероятность достать из первой партии бракованное изделие равна 1/15, небракованное – 14/15. Если было переложено бракованное, то вероятность достать брак из второй партии – 2/9 (т.к. брака стало 2, всего деталей стало 9). Если было переложено небракованное – 1/9. Для нахождения полной вероятности нужно сложить произведения вероятностей для случаев перекладывания бракованной и небракованной: (1/15)*(2/9) + (14/15)*(1/9) = 16/135

6. Биномиальный закон распределения.

Р(0) = *р⁰*q² = q² = 0.06² = 0.0036

P(1) = *p¹*q¹ = 2*0.94*0.06 = 0.1129

P(2) = *p²*q⁰ = p² = 0.8836

7. a = 0, σ = 3 мм, ξ < 8. Используем формулу для нормального закона распределения Р(|X-a|< ξ) = Ф(ξ/σ); Р = 0.99219. Следовательно, 99.219% деталей будет изготавливаться годными.

8. Найдем в числовом выражении отклонение в 0.01 (без этого значения мы не можем применить неравенство Чебышева): 9000*0.01 = 90 = ε. DX = 9000*0.3*0.7 = 1890; P(|X-MX|<90) > 1 – 1890/8100; P > 23/30. 20,2,7,18,10,3

Вариант 12

1) а) б)

2) = 22680

3) Всего 20 вариантов, когда на одной из костей выпадает либо 2, либо 5. Вероятность любой комбинации 1/36, вероятность искомой комбинации без 2 и 5 – (36-20)/36 = 4/9.

4) Нужно найти вероятности того, что первая лампочка будет обнаружена на 1, 2, 3 и 4 испытании при обнаружении второй лампочки на пятой попытке. Для этого нужно найти произведение вероятностей достать бракованную или небракованную лампочку на каждом испытании. Т.е., т.к. у нас имеется 2 брака и 6 небрака, то достать брак при первом испытании – 2/8, небрак – 6/8. Соответственно, далее мы уменьшаем знаменатель следующего множителя на 1, и, в зависимости от того, какую лампочку мы достали, смотрим, уменьшился ли числитель. На примере вероятности достать первой бракованную и пятой бракованную:

2/8 * 6/7 * 5/6 * 4/5 * 1/4 * 3/3 * 2/2 * 1/1; первый множитель – вероятность достать брак на первом испытании, второй – достать небрак на втором испытании (6 рабочих ламп осталось в кучке, 7 ламп осталось всего), третий – небрак на третьем (5 осталось, 6 всего); четвертый – небрак на четвертом (четыре осталось, 5 всего), пятый – брак на пятом (1 остался, 4 всего). Дальнейшие множители для всех вариантов будут одинаковыми, т.ч. дальше писать их не буду.

Достать брак 2-м и 5-м: 6/8 * 2/7 * 5/6 * 4/5 * 1/4

Достать брак 3-м и 5-м: 6/8 * 5/7 * 2/6 * 4/5 * 1/4

Достать брак 4-м и 5-м: 6/8 * 5/7 * 4/6 * 2/5 * 1/4

Сразу напишу конечную вероятность: 19/28

5) Формула Байеса. Нам нужно из известного условия, что индекс возрос, найти вероятность, что он возрос при хорошей ситуации в стране. = 56/169

6) Серого цвета у нас 4, всего в магазине 9 автомобилей. На остальные цвета забиваем, нас интересует только серый. Найдем МХ: 2*(4/9) = 8/9.

Р(0) = = 5/18 Р(1) = = 5/9 Р(2) = = 1/6

7) Вероятность у нас равна 0.98. Процентов не пугаемся, это те же числа. Переводим их в десятичную форму и решаем. У нас нет конкретных указаний по границам процентов, но есть отклонение и мат. ожидание. Потому нам достаточно легко найти границы возможных процентов, учитывая то, что |Ф( )| и |Ф(17 )| находятся от 0 до 1.

Ф( ) - Ф( ) = 1.96; Ф( ) = 1.96 + Ф( ); тогда Ф( ) Є [0.96;1]; Ф( ) Є [-1;-0.96]; соответственно Є [2.05;4]; Є [-4;-2.05];

2.05 ≤ ≤ 4; 0.01025 ≤ ≤ 0.02; 0.11825 ≤ ≤ 0.128;

-4 ≤ ≤ -2.05; -0.02 ≤ ≤ -0.01025; 0.088 ≤ ≤ 0.09775

8) Не уверен, что верно, но при решении данной задачи нужно дать оценку вероятности снизу и сверху. Т.е. найти Р(Х>102) и Р(Х<102) по неравенству Маркова. Р(Х>102) ≤ 10/17; P(X<102) ≥ 7/17. Точечно дать оценку вероятности 102 нельзя.