Вариант 4

1) а) С + + б)

2) = = 360. Данную формулу взяли, т.к. фактически мы выбираем 4 пути из 6 для постановки на них поездов, и порядок постановки нам важен.

3) 5 очков могут быть получены комбинациями: 1-4, 4-1; 2-3, 3-2, всего 4. 7 очков могут быть получены комбинациями: 1-6, 6-1; 2-5, 5-2; 3-4, 4-3, всего 6. Вероятность выбросить 5 очков равна 1/9, вероятность выбросить 7 очков равна 1/6. 1/6 > 1/9.

4) События независимы, следовательно, вероятность находится через произведение вероятностей каждого события. Вообще услышит – это вероятность, противоположная вероятности «не услышит», именно так проще ее искать: отнять вероятность неприема вызова от единицы.

1 – (0.9*0.6*0.4) = 0.784

5) Формула Байеса: = 7/15

6) МХ = 2*(4/6) = 4/3.

Р(0) = = 1/15 р(1) = = 8/15 р(2) = = 6/15

7) Превысит 5 минут – значит, составит от 5 до 8 минут. Вероятность для любой минуты равна 1/(8-0) = 1/8. Вероятность прождать автобус более 5 минут равна (8-5)/(8-0) = 3/8. Среднее время ожидания = (8-0)/2 = 4 минуты.

8) Неравенство Маркова. Р(Х<80) > 1 – 16/80; P > 0.8

Вариант 5

1) а) + + б)

2) = 171531360

3) Для начала нужно доказать, что любое целое число, возведенное в квадрат, будет оканчиваться цифрой, на которую заканчивается квадрат ее последней цифры, т.е. если число заканчивается на 3, то любое такое число после возведения в квадрат будет оканчиваться девяткой. Доказывается это так: любое число можно представить как 10а+b, a, b Є [0;9]. Возведем данную сумму в квадрат, и с помощью формулы сокращенного умножения получим 100a² + b² + 20ab. Первое и третье слагаемые у нас кратны 10, т.е. оканчиваются нулем. Не кратно 10 только второе слагаемое, а это и есть последняя цифра числа. Т.е. при сложении двух кратных десяти слагаемых получаем число, оканчивающееся нулем, прибавляем последнее слагаемое, и получаем число, оканчивающееся цифрой, которой оканчивается b². Далее определяем, какие цифры при возведении в квадрат дают единицу а конце. Это 9 и 1. Целое число может оканчиваться на 10 цифр, две из них дают искомый результат – единицу на конце. Итоговая вероятность по классической формуле равна 2/10 = 1/5.

4) Варианты для первой группы: * (выбираем одного мужчину из трех, двух женщин из шести). Для второй - * (одного из двух, двух из четырех). Третья группа не важна, т.к. после определения первых двух там остается один вариант. Итоговое количество подходящих вариантов равно * * * = 540. Всего вариантов у нас * = 1680. Вероятность того, что в каждой группе окажется по 1 мужчине, равна 540/1680 = 9/28

5) Немного не понял формулировку задачи. Оценить вероятность того, что принят передаваемый сигнал, если принят сигнал «точка». Я так понимаю, что нужно оценить вероятность принятия точки без искажения. Задача на формулу Байеса. Точек у нас 5/8 (0.625), тире 3/8 (0.375). Принимается 0.6 точек и 2/3 тире. Если я верно понял, что от нас хотят в этой задаче, то нужно найти общее количество принимаемых точек (это и верно принятые, и полученные путем искажения тире) – это будет знаменатель, и поделить долю верно принятых точек на общее количество принятых точек: (0.6*0.625)/((0.6*0.625)+(0.375*1/3)) = 0.75.

6) Р(0) = 0.2*0.4 = 0.08. Р(1-0) = 0.8*0.4 = 0.32. Р(0-1) = 0.2*0.6 = 0.12. Р(1-1) = 0.8*0.6 = 0.48

Р(0) = 0.08; P(1) = 0.32+0.12 = 0.44; P(2) = 0.48

МZ = M(X+Y) = MX + MY = 1*0.8+1*0.6 = 1.4

7) По идее, нужно применять функцию Лапласа по отношению к нормальному закону распределения. Мат. ожидание у нас равно нулю, т.к. взвешивание производится без систематических ошибок. Дана ошибка по абсолютной величине. Вероятность по упрощенной формуле равна Ф( ) = 0.31084. В этой задаче не уверен.

8) Неравенство Маркова. Р(Х<120000) > 1 – 30000/120000 = 0.75