Тема 3.5 Проекція вектора на вісь

Проекцією вектора на вісь називається взята з відповідним знаком довжина відрізка, що міститься між проекціями початку і кінця даного вектора на цю вісь. Знак плюс береться у тому випадку, якщо від проекції початку до проекції кінця даного вектора на цю вісь необхідно рухатись у напрямку вісі.

Проекцію вектора на вісь будемо позначати з індексом осі:

.

Напрямні косинуси вектора

Нехай вектор = x ∙ + y ∙ складає з осями Ox та Oy кути і відповідно. Косинуси цих кутів називаються напрямними косинусами вектора. Як видно із прямокутного трикутника, напрямні косинуси можна визначити за формулами:

, = , ,

= .

Формули показують, що сума квадратів напрямних косинусів вектора дорівнює одиниці, тобто

+ = l.

Як відомо = = для орта даного вектора . Продовжимо перетворення :

= ∙ + =

= cos β ∙ .

Цей вираз означає, що напрямні косинуси даного вектора є проекціями його орта на координатні вісі.

Тема 3.6 Скалярний добуток двох векторів

Визначення. Скалярним добутком векторів і називається добуток модулів цих векторів на косинус кута між ними, тобто = · ·cos φ, де φ - кут між векторами і . Якщо відомі координати векторів (a ,b ) і (a ,b ), тоді · = a₁b₁+a₂b₂ , скалярний добуток векторів в координатах.

Якщо вектори задані у просторі тоді скалярний добуток двох векторів и дорівнює .

Скалярним добутком векторів в координатах (а₁;а₂;а₃) і (b₁;b₂;b₃) в просторі називається число a₁b₁+a₂b₂+a₃b_3.

Основні властивості скалярного добутку

1. Комутативність множення:

.

2. Асоціативність відносно множення на число:

.

3. Дистрибутивність відносно додавання:

.

4. Умова перпендикулярності векторів:

, якщо , і навпаки.

; звідки .

Тема 3.7 Кут між двома векторами

За визначенням скалярного добутку маємо:

· = · · cosφ , де φ – кут між векторами і .

Звідки cosφ = ( ; ).

Або в координатах сosφ= .

Якщо праву частину рівності позначити за А, тоді .

Практичне застосування скалярного добутку. Якщо вектор зображує силу, точка прикладання якої переміщується з початку в кінець вектора , то робота А цієї сили визначається рівністю

Тема 3.8 Векторний добуток векторів

Векторним добутком векторів і називається вектор який задовольняє такі умови:

1. , де φ – кут між векторами і ;

2. Вектор перпендикулярний до векторів і ;

3. Напрям вектора вибирається так, щоб трійка векторів була правою.

Векторний добуток векторів і позначають символом або .

Вираження векторного добутку через координати співмножників. Нехай ; , тоді .

Застосування векторного добутку.

1. Обчислення площі паралелограма, побудованого на векторах і .

Модуль векторного добутку чисельно дорівнює площі S паралелограма, побудованого на векторах і , які віднесені до спільного початку.

Площа паралелограма дорівнює добуткові його суміжних сторін на синус кута між ними, тобто , отже .

2. Момент сили , прикладеної в точці М, відносно фіксованої точки О.

Якщо вектор зображає силу, прикладену до точки М, а вектор то вектор є моментом сили відносно точки О, тобто .

Властивості векторного добутку

1. Некомутативність множення: .

2. Векторний добуток дорівнює нульовому вектору тоді і тільки тоді, коли перемножувані вектори колінеарні.

3. Асоціативність відносно скалярного множника:

, .

Подвійний векторний добуток

Якщо векторний добуток двох векторів помножається векторно на третій вектор , то такий добуток називається подвійним векторним добутком і позначається так: . Для довільних векторів справедливе співвідношення: = .