Тема 3.9 Мішаний добуток векторів

Нехай дані три вектори . Помножимо векторно вектори і і отриманий вектор помножимо скалярно на вектор .

Мішаний добуток векторів – результат скалярного множення векторів і є скалярною величиною (числом). Він має дуже просте геометричне тлумачення. Мішаний добуток некомпланарних векторів дорівнює об’ємові паралелепіпеда, побудованого на цих векторах (віднесених до спільного початку), взятому зі знаком плюс, якщо трійка - права, і зі знаком мінус, коли ця трійка ліва.

Властивості мішаного добутку.

1. Мішаний добуток не змінюється при циклічній перестановці його співмножників, у цьому випадку не змінюється ні об'єм паралелепіпеда, ні орієнтація його ребер.

2. Мішаний добуток не міняється при зміні місцями знаків векторного і скалярного множення.

3. Мішаний добуток змінює свій знак при зміні місць будь-яких двох векторів-співмножників.

4. Мішаний добуток ненульових векторів і дорівнює нулеві тоді і тільки тоді, коли вони компланарні.

Вираження мішаного добутку через координати перемножувальних векторів.

Нехай ; , , тоді

.

Розділ 4 Аналітична геометрія на площині

Тема 4.1 Лінії на площині та їх рівняння

Рівнянням лінії L в декартовій системі координат на площині називається рівняння F(x,y)=0, яке задовольняють координати x і y у кожної точки цієї лінії і не задовольняють координати жодної точки, яка не лежить на цій лінії.

Приклади завдання лінії за допомогою рівняння.

1. Рівняння х – у=0, або х = у визначає множину точок, однаково віддалених від осей системи координат, тобто бісектрису першого і третього координатних кутів.

2. Розглянемо рівняння (х² + у²)(х² - 4)=0. Ліву його частину можна розкласти на множники:

(х² + у²)(х - 2)(х + 2)=0. Якщо ліва частина рівняння лінії розкладається на декілька множників, то говорять, що лінія, яка визначається цим рівнянням, розпадається на декілька ліній: х² + у²=0; х - 2=0;

+ 2=0. Перша лінія вироджується в точку О(0;0), друге рівняння зображує пряму, паралельну осі Оу на відстані 2 праворуч від неї, трете рівняння зображує пряму, паралельну осі Оу на відстані 2 ліворуч від неї.

Якщо відомо рівняння деякої лінії, то для будь-якої точки площини можна встановити, чи лежить точка на цій лінії чи ні. Для цього досить підставити в дане рівняння замість змінних х і у координати точки; якщо при цьому одержано вірну числову рівність, то точка лежить на лінії, якщо рівність виявиться нерівною, то точка не лежить на лінії.

Алгебраїчною лінією називається така лінія, яка зображується в декартових координатах алгебраїчним рівнянням F(x,y)=0, де F(x,y) є многочлен від змінних х і у. Степінь многочлена F(x,y), що стоїть у лівій частини рівняння алгебраїчної лінії, називається порядком лінії. Лінії, які не є алгебраїчними, називаються трансцендентними.

Тема 4.2 Рівняння прямої на площині

1. Загальне рівняння прямої, або рівняння прямої, яка проходить через дану точку, перпендикулярно даному вектору.

Потрібно скласти рівняння прямої, що проходить через точку М₀ перпендикулярно до вектора .

Рівняння має вигляд: А(х-х₀) + В(у-у₀)=0.