1.6. Теорема Пойтинга

Умножая обе части первого уравнения системы (1.18) скалярно на вектор , а обе части второго - на вектор , вычитая затем почленно первое из второго и используя тождество векторного анализа

, (1.25)

получим следующее соотношение:

. (1.26)

Интегрируя обе части выражения (1.26) по произвольному объему V и применяя к интегралу в левой части теорему Остроградского-Гаусса (l.l0a), получим уравнение энергетического баланса, которое совпадает с уравнением (1.24). Подробное доказательство может быть вынесено на практическое занятие.

1.7. Уравнения электродинамики и теорема Пойнтинга

для монохроматического электромагнитного поля

Монохроматическим электромагнитным полем называется электромагнитное поле, все характеристики которого изменяются с течением времени по закону гармонических колебаний, т.е. колеблются с круговой частотой .

В этом случае выражения для векторов и можно представить в виде:

,

где и - комплексные амплитуды векторов и , удо­влетворяющие следующей системе уравнений:

1).

2). , (1.28)

куда входит комплексная электрическая проницаемость среды

.

Уравнения (1.28) называются уравнениями электродинамики для комплексных амплитуд поля, или уравнениями электродинамики в комплексной форме.

Используя тождество векторного анализа и за­кон сохранения заряда (1.12) для комплексных величин, из ура­внений (1.28) легко получить третье и четвертое уравнения Максвелла в комплексной форме:

3). .

4). . (1.28а)

В дальнейшем будем рассматривать только монохроматические поля, имея в виду, что любой электромагнитный сигнал может быть представлен в виде ряда или интеграла Фурье по гармоническим составляющим.

Для монохроматического электромагнитного поля важными представляются средние значения энергетических характеристик. Среднее значение периодической функции (скалярной или векторной) определяется по формуле:

, (1.29)

где Т - период колебания.

Используя эту формулу, выражения для энергетических ха­рактеристик, рассмотренных в разделе [1.6], а также введенные выше понятия комплексных амплитуд, можно получить следующие выражения для средних значений энергии электромагнитного поля , мощности тепловых потерь , мощности источников мощности излучения и вектора Пойнтинга :

; ,

,

,

; ,

; ; ,

- комплексный вектор Пойнтинга.

Подробный вывод этих выражений может быть вынесен на практическое занятие.

Средние значения энергетических характеристик связаны между собой следующим соотношением

, (1.30)

которое представляет собой математическую формулировку теоремы Пойнтинга для комплексных амплитуд поля или теорему Пойнтинга в комплексной форме.

Доказательство теоремы Пойнтинга

Перепишем первое уравнение системы (1.28) для комплексно сопряженных значений входящих в него величин:

.

Умножим обе части этого уравнения скалярно на вектор , а обе части второго уравнения (1.28) – скалярно на вектор , затем, вычитая почленно первое из второго и используя тож­дество (1.25), получим следующее соотношение:

.

Интегрируя обе части этого соотношения по произвольному объему V, применяя к интегралу в левой части теорему Остроградского-Гаусса (l.l0a) и используя выражения для средних значений энергетических характеристик, получим соотношение, совпадающее с (1.30).

Подробные выкладки данного доказательства могу быть вы­несены на практическое занятие.

Из соотношения (1.30) можно получить уравнение энергети­ческого баланса для средних мощностей, приравняв действитель­ные части слева и справа:

. (1.31)

Физический смысл этого уравнения состоит в том, что мощ­ность, вырабатываемая источником, в общем случае расходуется на нагрев среды в области V и на излучение из этой области. Полагая удельную проводимость среды равной нулю ( ), можно мощность источников определить через мощность излучения:

и