2.2. Волновые уравнения электродинамики Векторный потенциал

Из системы уравнений (1.28) можно получить так называе­мые волновые уравнения электродинамики относительно векторов поля и .

Возьмем ротор от обеих частей первого уравнения (1.28):

(2.2)

Левую часть полученного уравнения преобразуем, используя тож­дество векторного анализа

, (2.3)

где - оператор Лапласа, а в правую часть подставим из второго уравнения (1.28). В результате получим неоднородное волновое уравнение относительно :

, (2.4)

где и учтен, что в соответствии с (1.28a)

(2.5)

С учетом тождества векторного анализа

(2.6)

из соотношения (2.5) следует, что напряженность магнитного по­ля можно представить в виде: , (2.7)

где векторная функция , называемая векторным потенциалом, удовлетворяет волновому уравнению:

. (2.8)

Используя (2.7), (2.8) и тождество (2.3), из первого уравнения системы (1.28) получим следующее выражение для век­тора :

. (2.9)

Таким образом, решив уравнение для векторного потенциала (2.8), можно по формулам (2.7) и (2.9) найти напряженности электрического и магнитного полей.

2.3. Векторный потенциал элемента электрического тока

Элементом электрического тока называется точечный источ­ник, характеризуемый моментом:

(2.10)

где l - длина элемента, а - комплексная амплитуда сто­роннего тока.

Рассмотрим задачу о нахождении векторного потенциала элемента электрического тока, расположенного в начале системы координат и направленного вдоль оси z (рис.2.1).

Рис.2.1.Элемент с током в совмещенных координатных системах (x, y, z) и

Во всех точках пространства, за исключением начала координат, векторный потенциал удовлетворяет однородному волновому уравнению:

. (2.11)

Из (2.8) следует, что векторный потенциал элемента па­раллелен элементу, и его можно представить в виде:

(2.12)

При этом функция должна удовлетворять скалярному волновому уравнению

(2.13)

В силу центральной симметрии величина зависит только от величины радиуса- вектора и не зависит от его направления в пространстве, определяемого угловыми координатами . При этом величина с учетом тождества векторного анализа

(2.14)

в сферической системе координат представляется выражением

,

и уравнение (2.13) приводится к виду:

. (2.15)

Решаем уравнение (2.15) с помощью подстановки

, (2.16)

которая приводит к следующему уравнению для функции :

. (2.17)

Общее решение этого уравнения можно представить в виде:

. (2.18)

Так как функция (k’>0, k''>0)

стремится к бесконечности при , то постоянная С₂ = 0 . Постоянную С₁ найдем, используя неоднородное волновое ура-

внение (2.8), правая часть которого удовлетворяет условию:

, (2.19)

где V - область в окрестности точки О (рис.2.1.).

Подставляя в уравнение (2.8) векторный потенциал в виде , интегрируя слева и справа по объему шара радиуса r и устремляя затем r к нулю, получаем:

. (2.20)

Второй интеграл в левой части этого уравнения равен нулю. Первый интеграл преобразуем, используя теорему Остроградского-Гаусса (l.l0a):

и получаем , откуда

.

Окончательное выражение для векторного потенциала эле­мента электрического тока имеет вид:

. (2.22)

Если элемент тока расположен в произвольной точке прост­ранства, определяемой радиусом- вектором (x’, y’, z’)(рис.2.1.), то выражение для векторного потенциала можно представить в виде:

, (2.23)

где - расстояние между элементом тока и точкой простран­ства, в которой определяется .