2.4. Векторный потенциал линейного, поверхностного и объемного токов

Линейным током называется ток, распределенный вдоль не­которого проводящего контура L . Разбивая этот контур на бес­конечное множество элементов тока, определяя векторный потен­циал каждого такого элемента и суммируя потенциалы от всех элементов, что сводится к вычислению интеграла по контуру L , получим следующее выражение для векторного потенциала линейно­го тока:

. (2.24)

Подынтегральное выражение в (2.24) представляет векторный потенциал элемента электрического тока с моментом , расположенного в точке , а сам интеграл - полный векторный потенциал тока, распределенного на контуре L .

Поверхностным током называется ток, распределенный на некоторой поверхности S c поверхностно плотностью ( рис.2.2.). Рассматриваем плоский элемент поверхно­сти как эле­мент электрического тока с моментом

,

векторный потенциал кото­рого определяется выражением (2.23):

Рис.2.2.Элемент поверхностного тока

(2.23a)

Полный векторный потенциал поверхностного тока определяется интегрированием выражения (2.23а) по поверхности S:

(2.25)

Объемным током называется ток, распределенный в некото­ром объеме V с объемной плотностью (рис.2.3.).Выделяем элементарный цилиндрический объем и рассматриваем его как эле­мент электрического тока, векторный потенциал кото­рого определяется выраже­нием (2.23), в котором нужно положить:

.

При этом

, (2.23б)

и полный векторный потенциал определяется интегрированием вы­ражения (2.236) по объему проводника v :

. (2.26)

Формула (2.26) дает решение неоднородного волнового уравнения (2.8).

Рис.2.3.Элемент объемного тока

2.5. Электромагнитное поле поверхностного тока, равномерно распределенного на бесконечной плоскости. Плоские однородные волны (пов)

Введем декартову систему координат х, у, z, (рис.2.4.), и пусть в плоскости z=0 задан сторонний ток, поверхностная плотность которого постоянна, а направление противоположно оси х, т.е.

. (2.27)

Рис.2.4.Поверхностный ток на бесконечной плоскости

Требуется определить поля и в произвольной точке пространства по обе стороны плоскости z=0 с током .

Сначала определим векторный потенциал , который, в силу плоскостной симметрии задачи, зависит только от координа­ты z и в соответствии с уравнением (2.8) и представлением тока (2.27) имеет лишь х-овую составляющую: .

В произвольной точке вне плоскости z=0 (|z|>0) функция удовлетворяет однородному волновому уравнению, которое в де­картовой системе координат при отсутствии зависимости от x и у имеет вид:

, |z|>0

Общее решение этого уравнения можно представить формулой:

Функция (к’’>о) стремится к бесконечности при , а функция стремится к бесконечности при . поэтому выражения для векторного потенциала пред­ставляем в виде:

.

Используя (2.9) и учитывая, что , получим сле­дующее выражение для напряженности электрического поля:

, (2.28)

где ,

,что следует из условия непрерывности тан­генциальной составляющей напряженности электрического поля при z=0.

Используя (2.7), получим следующее выражение для напря­женности магнитного поля:

,

. (2.29)

Используя граничное условие (1.22) для напряженности магнитного поля, получим:

Отсюда и

В итоге выражения для напряженности полей и прини­мают следующий вид:

(2.30)

Электромагнитное поле, определяемое выражениями (2.30), удовлетворяет при |z|>0 однородной ( ) системе уравнений электродинамики (1.28) и граничным условиям (1.21), (1.22) на плоскости z=0.

Таким образом, выражения (2.30), в силу теоремы единс­твенности, являются решением поставленной задачи.

Электромагнитное поле, напряженность которого определя­ется этими выражениями, представляет собой плоскую однородную электромагнитную волну, распространяющуюся в положительном направлении оси z при z>о и в отрицательном – при z<0. При этом комплексные амплитуды и связаны между собой соотношениями:

; ,

где - единичный вектор, указывающий направление распростра­нения волны.

Таким образом, поверхностный электрический ток, равно­мерно распределенный на бесконечной плоскости z=0, возбуж­дает плоские однородные волны, распространяющиеся в обе сторо­ны от этой плоскости.

Постоянные и являются основными па­раметрами, определяющими плоскую однородную волну (ПОВ). Постоянная называется волновым числом, а постоянная - волновым сопротивлением среды.

Используя формулу (1.28а), представим выражения для и в виде:

(2.32)

где и - волновое число и волновое сопротивление при