4. Методические рекомендации к выполнению контрольной работы №1.

Задача №1. В данных задачах рассматривается равновесие плоской системы сходящихся сил и требуется определить реакции двух шарнирно соединенных между собой стержней, удерживающих два груза. Таким образом, к шарниру В в каждой задаче приложены четыре силы, из которых две неизвестны. Для задач такого типа универсальным является аналитический метод решения.

Последовательность решения задачи:

1. выбрать тело (точку), равновесие которого следует рассматривать;

2. освободить тело (шарнир В) от связей и изобразить действующие на него активные силы и реакции отброшенных связей. Причем реакции стержней следует направить от шарнира В, так как принять считать предположительно стержни растянутыми;

3. выбрать систему координат, совместив ее начало с точкой В, и составить уравнения равновесия, используя условия равновесия системы сходящихся сил на плоскости ;

4. определить реакции стержней из решения указанной системы уравнений;

5. проверить правильность полученных результатов по уравнению, которое не использовалось при решении задачи, либо решить задачу графически.

Пример 1.

Определить реакции стержней, удерживающих грузы F₁=70 кН F₂=100 кН (рис 5,а). Массой стержней пренебречь.

Решение.

1. Рассматриваем равновесие шарнира В (рис 5 а)

2. Освобождаем шарнир В от связей и изображаем действующие на него активные силы и реакции связей (рис 5 а)

3. Выбираем систему координат и составляем уравнения равновесия для системы сил, действующих на шарнир В.

4. Определяем реакции стержней R₁ и R₂, решая уравнения.

Из уравнения 1:

Подставляем найденное значение R₁ в уравнение 2 и получаем

Знак минус перед значением R₂ указывает на то, что первоначально выбранное направление реакции неверно – следует направить реакцию R₂ в противоположную сторону, т.е.к шарниру В (на рис 5, б истинное направление реакции R₂ показано штриховым вектором)

5. Проверяем правильность полученных результатов, решая задачу графически (рис 5,в). Полученная система сил (рис 5 б) находится в равновесии, следовательно, силовой многоугольник, построенный для этой системы сил, должен быть замкнутым.

Строим силовой многоугольник в следующем порядке (рис 5 в): в выбранном масштабе (например =2 кН/мм) откладываем заданную силу F₁ (ab=F₁), затем из точки b под углом 30 к горизонту откладываем силу F₂ (bc=F₂), далее из точек а и с проводим прямые, параллельные положениям стержней 1 и 2. Эти прямые пересекаются в точке d и в результате построения образуется замкнутый многоугольник abcd, в котором сторона cd=R_2, а сторона da=R₁. Измерив длины этих сторон (в мм) и умножив на масштаб построения , получаем значения реакций стержней:

Графическое решение подтверждает правильность первого решения.

Задача 2. Во всех данных задачах требуется определить реакции опор балок. Учащимся необходимо приобрести навыки определения реакций опор, так как с этого начинается решение многих задач по сопротивлению материалов и деталям машин.

Последовательность решения задачи:

1. изобразить балку вместе с нагрузками;

2. выбрать расположение координатных осей, совместив ось х с балкой, а ось y направив перпендикулярно оси х;

3. произвести необходимые преобразования заданных активных сил: силу, наклоненную к оси балки под углом , заменить двумя взаимно перпендикулярными составляющими, а равномерно распределенную по закону прямоугольника нагрузку – ее равнодействующей, приложенной к середине участка распределения нагрузки;

4. освободить балку от опор, заменив их действие реакциями опор, направленными вдоль выбранных осей координат;

5 . составить уравнения равновесия статики для произвольной плоской системы сил таким образом и в такой последовательности, чтобы решением каждого из этих уравнений было определение одной из неизвестных реакций опор;

6.проверить правильность найденных опорных реакций по уравнению, которое не было использовано для решения задачи.

Пример 2. Определить реакции опор балки (рис 6, а). Решение.

1.Изобразим балку с действующими на нее нагрузками (рис 6,а)

2. Изобразим оси координат x и y

3. Силу F заменяем ее составляющими F_x=Fcosά и F_y=Fsinά. Равнодействующая qСD равномерно распределенной нагрузки, приложенная в точке пересечения диагоналей прямоугольника (рис6,б), переносится по линии своего действия в середину участка CD, в точку К.

4. Освобождаем балку от опор, заменив их опорными реакциями (рис 6,в)

5. Составляем уравнения равновесия статики и определяем неизвестные реакции опор.

1. Из уравнения моментов всех действующих на балку сил, составленного относительно одной из точек опор, сразу определяем одну из неизвестных вертикальных реакций:

кН

2. Определяем другую вертикальную реакцию:

кН

3. Определяем горизонтальную реакцию:

; кН

6. Проверяем правильность найденных результатов:

Условие равновесия выполняется, следовательно, реакции опор найдены верно.

Задача №3.

Последовательность решения задачи:

1. изобразить на рисунке тело, равновесие которого рассматривается, с действующими на него активными и реактивными силами и выбрать систему координат;

2. из условия равновесия тала, имеющего неподвижную ось, определить значения сил F₁, F₂;

3. составить шест уравнений равновесия;

4. решить уравнения и определить реакции опор;

5. проверить правильность решения задачи.

П ример 3. На вал (рис 7,а) жестко насажены шкив 1 и колесо 2. Определить силы F₂, F_r2=0.4F₂, а также реакции опор А и В если F₁=100Н.

Решение.

1. Изображаем вал с всеми действующими на него силами, а также оси координат. (рис 7,б)

2. Определяем F₂ и F_r2. Из условия равновесия тела, имеющего неподвижную ось:

;

;

3. Составляем шесть уравнений равновесия:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

4. Решаем уравнения (1), (2), (3), (4) и определяем реакции опор:

Из (1):

Из (2):

Из (3):

Из (4):

5. проверяем правильность найденных реакций опор. Используем уравнение(5)

, следовательно, реакции R_AX и R_BX определены верно.

Используем уравнение (6):

, следовательно, реакции R_AY и R_BY определены верно.

Данную задачу можно решать другим методом: спроектировать тело со всеми действующими на него активными и реактивными силами на три координатные плоскости, чтобы проще было составлять уравнения равновесия.

Задача №4.

К решению этих задач следует приступать после изучения темы «Центр тяжести» и разбора примера. С целью упрощения решения следует стремиться разбить заданную сложную плоскую фигуру на возможно меньшее число простых частей, применяя в случае необходимости «метод отрицательных площадей».

Последовательность решения задачи:

1. изобразить на рисунке пластину и показать все ее размеры;

2. если не указаны заранее, указать на чертеже координатные оси;

3. разбить фигуру на возможно меньшее число простых фигур (треугольник, квадрат, круг, сегмент и т.д.);

4. вычислить площадь каждой части – простой фигуры, учитывая «метод отрицательных площадей» (если простая фигура вырезана из основной, то ее площадь считается отрицательной);

5. находим центр тяжести выделенных простых фигур по стандартным формулам (если имеется ось симметрии, то центр тяжести лежит на этой оси);

6. вычисляем координаты X_C и Y_C центра тяжести плоской пластины.

Пример 4.

Определить положение центра тяжести для тонкой однородной пластины, форма и размеры которой, в сантиметрах, показаны на рисунке 8.

Решение.

Д анную фигуру представляем состоящей из трех простых фигур: 1 – прямоугольник, 2 – круга, 3 – треугольника.

Площади кругового и треугольного отверстий вводим в расчет со знаком минус, а площадь прямоугольника – без учета имеющихся в нем отверстий.

Площади простых фигур:

, где совпадающая с осью симметрии высота треугольника

Фигура имеет ось симметрии, следовательно, е центр тяжести лежит на этой оси. Совмещаем координатную ось х с осью симметрии, а начало координат – с левым краем фигуры (чтобы координаты центров тяжести оказались положительными).

Координаты центра тяжести простых фигур: , х₂=8см, х₃=31-6-12/3=21см, где 12/3 – расстояние от центра тяжести треугольника до его основания, равное 1/3 высоты.

Координата центра тяжести заданной фигуры

Ответ: 16.7 см

Задача №5.

Данную задачу следует решать после изучения тем «Основные понятия кинематики» и «Кинематика точки». В задачах рассматривается равнопеременное движение точки. Следует учесть, что при использовании уравнения равнопеременного движения точки s=υ₀t+(at²/2) по криволинейной траектории кроме касательного ускорения а_τ, у точки возникает нормальное тангенциальное ускорение а_n=υ²/ρ, направленное по радиусу кривизны траектории к ее центру.

Пример 5. П о дуге радиусом r=1200м движется поезд, его скорость в начале движения по дуге составляет υ₀=60 км/ч. После того как поезд прошел расстояние 800м, его скорость уменьшилась до 36 км/ч. Определить полное ускорение в начале и конце движения.

Решение.

Определим касательное ускорение из уравнений:

,

Из второго уравнения

Из первого уравнения

Так как равномерно замедленное, то касательное ускорение в течении всего времени движения постоянно. Найдем нормальное ускорение:

в начале движения а_τ=υ₀²/r=16,7²/1200=0,23м/с^2, в конце движения а_n=υ²/r=10²/1200=0,08м/с²

Полное ускорение:

в начале движения

в конце движения

Задача №6.

Данные задачи следует решать после изучения тем «Простейшие движения твердого тела», «Основные понятия и аксиомы статики», «Метод кинетостатики для материальной точки». Рассматривая вращательное движение твердого тела, необходимо отчетливо уяснить, что вращение тела характеризуется угловыми величинами (угол поворота φ, угловая скорость ω и угловое ускорение έ), а отдельные точки вращающегося тела совершают криволинейное движение (по окружностям) и их движение характеризуется линейными величинами (путь s, скорость υ и ускорения а_n, а_τ). При решении задач динамики необходимо пользоваться принципом Даламбера, с помощью которого задачи динамики решаются с использованием уравнения равновесия статики. Согласно принципу Даламбера, в каждый данный момент действующие на материальную точку силы уравновешиваются силами инерции.

При решении задач рекомендуется такая последовательность:

1. выделить точку, движение которой рассматривается в данной задаче;

2. выяснить, какие активные силы действуют на точку и изобразить их на рисунке;

3. освободить точку от связей, заменив их реакциями;

4. к образовавшейся системе сил добавить силу инерции, помня, что направлена она по линии вектора ускорения точки, но в противоположную сторону;

5. выбрать расположение осей координат и составить два уравнения проекции всех сил на эти оси ( );

6. решив уравнения, определить искомые значения величин.

Пример 6.

Груз массой 200 кг опускается равноускоренно с помощью невесомого троса, перекинутого через блок, и в первые 5с проходит 10м. Определить силу натяжения троса.

Решение.

О бозначив груз точкой А, приложим к нему силу тяжести G, реакцию троса Т, и добавим к ним силу инерции F_и, направив ее в сторону, противоположную ускорению.

Ускорение а определяем из уравнения равнопеременного движения s=at²/2 так как начальная скорость υ₀=0

Согласно принципу Даламбера силы G, Т и F_и находятся в равновесии, т.е.

Т+F_и-G=0, откуда Т=G-F_и.

Выражая силу инерции и силу тяжести через массу груза (F_и=ma, G=mg), получаем

Ответ: 1,8кН