2. Обнаружение и оценка систематической погрешности

Основной путь для выявления систематических погрешностей - тщатель­ный анализ условий эксперимента, применяемой теории, методики измерения и т.п. подмечая закономерности в полученных результатах, можно в некоторых случаях выявить эти ошибки.

Если найдена причина систематической погрешности, то в некоторых случаях можно эту ошибку устранить, меняя методику эксперимента.

Если удается определить не только причину, но и величину систематиче­ской погрешности, то возможен и другой путь. Систематическая погрешность может быть устранена введением поправки е = ∆x_сис в результат измерения.

Исправленное значение ∆x_испр величины х определится как сумма измеренного значения X_изм и поправки е

∆x_испр = X_изм + е (3)

Хотя систематическая погрешность в принципе может быть устранена введением поправки, но в реальных случаях обнаружение и устранение систе­матических погрешностей требует тщательного анализа методики измерения и теории, применяемой при вычислении результатов. Причем на практике далеко не всегда возможно устранить даже те погрешности, причины которых уста­новлены.

Распространенным источником систематических погрешностей является неточность градуировки измерительных приборов. Неточность градуировки можно устранить, если проверить его с помощью другого, более точного, об­разцового или эталонного прибора, и построить таблицу или график, дающие зависимость поправки от показаний проверяемого прибора. Такие графики или таблицы поправок могут приводиться в паспортах приборов. Однако исправить ошибки градуировки прибора можно, если существует более точный прибор, и даже в этом случае исправление градуировки может оказаться очень сложной задачей, не оправданной ценностью результата. Поэтому для многих серийных приборов указывается (непосредственно на приборе или в его паспорте) только верхний предел абсолютной величины ошибки, которая допускалась при гра­дуировке.

Знание предельной систематической погрешности не дает возможности устранить ошибку, но позволяет указать пределы, в которых лежало бы истин­ное значение измеряемой величины, если бы ошибка целиком определялась найденной причиной.

X_изм-∆x < X_ист < X_изм+∆x (4)

3. Случайные погрешности и промахи

Случайные погрешности вызываются неконтролируемыми, изменяющи­мися от опыта к опыту причинами. Они появляются при совместном действии очень большого числа независимых причин, каждая из которых оказывает ма­лое влияние на результат измерения, так что только в совокупности эти причи­ны дают заметный эффект. При этом каждая из влияющих величин может из­меняться закономерным образом, но если эти законы для разных величин раз­личны, то суммарная ошибка (величина и знак) будет изменяться от опыта к опыту случайно.

Анализ случайных погрешностей основывается на теории случайных ошибок, дающей возможность с определенной вероятностью вычислить дейст­вительное значение измеренной величины и оценить возможные ошибки.

Основу теории случайных ошибок составляют предположения о том, что при большом числе измерений случайные погрешности одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто; большие погрешности встреча­ются реже, чем малые (вероятность появления погрешности уменьшается с рос­том ее величины); при бесконечно большом числе измерений истинное значе­ние измеряемой величины равно среднеарифметическому значению всех ре­зультатов измерений, а появление того или иного результата измерения как случайного события описывается нормальным законом распределения.

Аналитическое выражение закона:

; (5)

где х, - результат отдельного измерения;

х - математическое ожидание значения измеряемой величины (сред­нее арифметическое по результатам серии измерений);

f(x) — плотность вероятности появления случайной ошибки;

∆x_i - отклонение результата i-того измерения от математиче­ского ожидания (от среднего арифметического); - среднее квадратичное отклонение.

(6)

где n - число измерений.

Кривая нормального распределения описывает также и распределение ошибок (погрешностей). Если перенести в начало координат точку соответст­вующую х = Xист (рисунок 1), тогда по оси абсцисс вместо значений х будут от­ложены значения ошибок ∆x, а по оси ординат f(х) - плотность вероятности по­явления случайной ошибки ∆x.. Кривая распределения ошибок характеризует точность эксперимента. Если кривая имеет вид острого пика около ∆x =0, по обе стороны от которого наблюдается резкий спад, то эксперимент имеет высо­кую точность, (большие ошибки встречаются редко); большая ширина пика указывает на наличие существенных случайных ошибок. Отсюда следует, что величина  однозначно характеризует точность измерений, и с её помощью можно оценить погрешности. Чем меньше , тем уже и круче кривая плотно­сти вероятности, и тем больше преобладают малые случайные погрешности, при больших  большие случайные погрешности встречаются значительно чаще.

Величина  зависит не только от класса точности применяемых средств измерения, но также и от используемой методики измерения, и квалификации экспериментатора. В случае правильного выбора и соблюдения методики изме­рений, достаточной квалификации экспериментатора, меньшую величину по­грешностей обеспечит применение более точных средств измерения.

у1<у2<у3

Рисунок 1 - Распределение ошибок в экспериментах.

В качестве окончательного результата серии из n измерений выбирается, как уже говорилось среднее арифметическое значение.

(7)

Значение среднего арифметического будет также являться случайной ве­личиной. Ясно, что величина х будет являться лучшей оценкой для Xист чем результат единичного замера.

Распределение величины х при n измерениях, как показывает расчет, в √ раз уже, чем для х_i,. Если распределение х, подчиняется нормальному закону распределения, то и распределение величины х тоже нормальное. Оно описы­вается формулой (5) с заменой у на

(8)

Теория ошибок позволяет оценить точность и надежность измерения при данном количестве замеров или определить минимальное количество замеров, гарантирующее требуемую (заданную) точность и надежность измерений. И наряду с этим исключить грубые ошибки - промахи ряда измерений.