5. Определение минимального количества измерений

Для проведения опытов с заданной точностью и достоверностью необхо­димо знать то количество измерений, при котором можно быть уверенным в положительном исходе. В связи с этим, одной из задач является установление минимального, но достаточного числа замеров для данных условий. Задача сводится к установлению минимального объема выборки (числа измерений) n_min при заданных значениях доверительного интервала ±  и доверительной вероятности Р_д. При выполнении измерений точность составляет:

(12)

Доверительный интервал для среднего арифметического значения определяется подобно доверительному интервалу для измеренных значений.

(13)

(14)

С учетом (8) получаем

При n_min = п получаем

(15)

где к_в - коэффициент вариации к_в= / х ;

∆ - точность измерений.

Для определения n_min может быть принята такая последовательность вычислений:

1. проводится предварительный эксперимент с количеством измерений п, которое составляет от 20 до 50;

2. вычисляется у по формуле (6) и < ₀ по формуле (8);

3. устанавливается требуемая точность измерений ∆, которая не должна превышать точности прибора (предельного значения абсолютной

по­грешности);

4. задается уровень доверительной вероятности Рд,

5) по формуле (15) определяется п_тin и в дальнейшем при проведении эксперимента число измерений не должно быть меньше n_min.

Пример: пусть, требуется проверить какой либо параметр, согласно инст­рукции выполняется 25 замеров, допустимое отклонение параметра ∆=±0,1мм, доверительная вероятность Рд=0,9, вычисленное предварительно значение у=±0,4мм у_о=±0,08мм.

Из формулы (15) можно записать .Up = √n*∆/= √25*0.1/0.4= 1,25.

Из таблицы 1 доверительная вероятность для Up =1,25 составляет 0,79, при заданной Рд=0,9, что недостаточно.

По формуле (15) определим n _min = 0,4²*1,65²/0,08² =68 замеров.

Следовательно, для заданных условий необходимо провести не менее 68 замеров.

Значение измеряемой величины, которое в дальнейшем

принимается за расчетнoе, определяется по выражению

Х_Р=Х_±м (16)

6. Определение грубых погрешностей

В процессе обработки экспериментальных данных следует исключать грубые погрешности. Вероятность появления таких ошибок достаточно высока, а их наличие ощутимо влияет на точность результата измерений. Известно не­сколько методов определения грубых погрешностей.

Наиболее простым способом исключения грубых погрешностей является правило трех сигм: разброс случайных величин от среднего значения не должен превышать

X_max,min < х ± 3 (17)

Однако использование З в качестве критерия наличия грубой погрешно­сти, наиболее эффективно при большом числе опытов (не менее 10 измерений).

Более достоверными являются методы, основанные на использовании до­верительного интервала. При наличии грубых ошибок критерии их появления

для максимального и минимального результатов ряда определяются по сле­дующим формулам:

;

где X_max, X_min - наибольшее и наименьшее значения из п измерений.

В приложении (таблица 3) приведены максимальные значения X_тах в зави­симости от доверительной вероятности. Если ₁>_max, то значение X_тах необхо­димо исключить как содержащее грубую погрешность. При ₁>_max исключает­ся значение X_min. После очистки ряда результатов измерений от грубых погреш­ностей определяются новые значения х и у из (п-1) или (п-2) замеров.

Еше один метод выявления грубых погрешностей предложен В.И. Романовским, и применим также для малой выборки. Методика выявления грубых погрешностей сводится к следующему. По заданной доверительной вероятно­сти Р_д и числу замеров п определяется коэффициент q (таблица 4 приложения). Вычисляется предельно допустимая абсолютная ошибка отдельного измерения

_пр= *q (19)

Если X-X_max>_пр, то измерение X_max исключается как содержащее грубую погрешность.

Для анализа экспериментальных данных может быть принята следующая методика:

1. анализируются экспериментальные данные и исключаются системати­ческие погрешности;

2. проверка результатов на наличие грубых погрешностей: устанавливают значения X_max и X_min определяют среднеквадратичное отклонение у и среднее арифметическое по результатам измерений х; проверяют ре­зультаты на наличие грубых погрешностей с использованием всех кри­териев, исключают результаты содержащие грубые погрешности и по­лучают новый ряд;

3. определяют среднеквадратичное отклонение у и среднее арифметическое по результатам измерений х для очищенного ряда;

4. по формуле (8) определяется среднеквадратическое отклонение сред­него арифметического ₀

5. при большой выборке, в зависимости от уровня доверительной вероят­ности (таблица 1 приложения) определяют квантиль нормального рас­пределения и по формуле (13) определяют доверительный интервал значения х, при малой выборке (п<30) в формуле (13) определяют до­верительный интервал с использованием коэффициента Стьюдента – (таблица 2 приложения).

6. по формуле (16) определяют расчетное значение измеряемой величины, используемое при дальнейших расчетах.