2.3. Функции полезности инвестора

Пусть функция полезности инвестора зависит только от средней доходности портфеля , т.е. или .

Предположение: Будем рассматривать так называемых нормальных инвесторов, для которых чем больше , тем лучше и чем меньше (т.е. риск), тем лучше: , .

Определение: Линию (поверхность) уровня, определяемую равенством , будем называть кривой безразличия (indifference curve).

Кривые безразличия имеют следующий вид:

Отметим 2 свойства кривых безразличия:

1. Кривые безразличия никогда не пересекаются.

2. Кривые безразличия, соответствующие большим значениям функций полезности, располагаются правее.

Определение: Толерантностью инвестора к риску называется величина или , которая характеризует устойчивость инвестора по отношению к риску. Чем больше толерантность, тем больше инвестор склонен к риску.

В качестве функции полезности часто используют .

Пусть функция полезности зафиксирована на уровне , где u₀ - некоторое число, тогда - парабола, ориентированная вдоль оси абсцисс.

Если будем увеличивать число , то парабола будет перемещаться вправо без деформации.

С увеличением толерантности ветви параболы расширяются.

4. Понятие эффективного множества

Допустимая область задачи инвестора определяется условиями:

, .

Пусть - портфель, удовлетворяющий ограничениям. Этому портфелю соответствует и , то есть вектору х в плоскости соответствует некоторая точка .

Изобразим множество таких точек на плоскости.

Рассмотрим несколько характерных точек в этой области S.

а) Внутренняя точка. Из этой точки можно переместиться в другую точку правее и ниже. При этом мы увеличиваем среднюю доходность и уменьшаем дисперсию доходности. Потому внутренняя точка не может быть оптимальной.

б) Выделим на границе множества точки, из которых нельзя переместиться вправо и вниз.

Построим на границе точки А и В и дугу , так что из точек расположенных левее А и выше В можно перемеситься вправо и вниз.

Вывод: компромиссное решение, удовлетворяющее инвестора, может располагаться на дуге . Множество точек на этой дуге называется эффективным множеством. Соответствующие портфели называются эффективными портфелями.

2.4.1. Свойства эффективного множества

Теорема: Эффективное множество представляет собой дугу выпуклой кривой.

Доказательство:

1. Вспомогательный результат (факт).

Рассмотрим два портфеля: и со средними доходностями , и с дисперсией доходности , .

Построим выпуклую комбинацию портфелей , . Средняя доходность выпуклого портфеля

(a)

Дисперсия доходности выпуклого портфеля:

(б)

( )

Из (а) найдем : .

Подставим это выражение в (б):

.

Вводя обозначения, получим: , где

Покажем, что . Действительно,

.

Так как , то график функции будет параболой с ветвями, направленными вверх:

Вывод: Таким образом, - выпуклая функция.

2. Доказательство выпуклости эффективного множества.

Рассмотрим 2 эффективных портфеля . Построим выпуклую комбинацию . Рассмотрим точки в плоскости : , , .

Из рассуждений пункта 1 => точка соответствует точке на некоторой параболе, с ветвями, направленными вверх.

Возможны 2 ситуации:

а) точка эффективному множеству;

б) точка эффективному множеству.

Если эффективному множеству, то лежит ниже отрезка прямой, соединяющей точки и . Таким образом, по определению выпуклой функции: эффективное множество будет дугой выпуклой кривой. Если эффективному множеству, то по определению эффективного множества из этой точки можно перейти вправо вниз в другую точку эффективного множества.

Точка также расположена ниже отрезка прямой , поэтому по определению кривая, соответствующая эффективному множеству, является дугой выпуклой функции.

Структура эффективного множества в случае :

.

Исключим , выразив ее через и : .

;