4. Графическое построение оптимального портфеля

1. Система неравенств

вырезает в плоскости треугольную область, с границами , , .

2. Линии уровня функции являются концентрическими эллипсами. Пусть их центр расположен внутри треугольника. Обозначим центр . Проведем через эту точку прямую, соответствующую средней доходности .

3. Рассмотрим уравнение . Линии равных уровней для представляют параллельные прямые. С ростом они перемещаются вправо и вверх.

Точка соответствует эффективному портфелю. Точка называется: первый угловой портфель. Обозначим его .

4. Значение средней доходности будет минимальной средней доходностью всех эффективных портфелей. Эффективность первого углового портфеля следует из того, что из точки нельзя перейти в другую допустимую точку так, чтобы при этом увеличилась и уменьшилась .

5. Увеличим со значения до значения и зафиксируем. Этому значению соответствует прямая, проходящая правее и выше прямой, соответствующей .

Минимум достигается в точка касания соответствующего эллипса и прямой . При дальнейшем увеличении точка касания будет перемещаться вправо вверх вдоль некоторой прямой, обозначим ее и назовем критической линией.

Критическая линия пересечет границу допустимой области в точке , соответствующей . Эта точка называется второй угловой портфель.

Эффективность второго углового портфеля следует из того, что из точки нельзя перейти в другую допустимую точку так, чтобы при этом увеличилось и уменьшилось .

6. При дальнейшем увеличении минимум достигается на границе допустимой области. Движение по ней вправо вниз продолжается до тех пор, пока не достигнем точки . Эту точку обозначим в трехмерном пространстве , и назовем третьим угловым портфелем.

Для третьего углового портфеля средняя доходность принимает максимально возможные значения. Дисперсия доходности (или ) также принимает максимально возможное значение среди всех эффективных портфелей.

7. Все эффективные портфели лежат на отрезках и . Поэтому они являются линейной комбинацией первого и второго угловых портфелей и второго и третьего угловых портфелей. А таким линейным комбинациям в плоскости , как было показано выше, соответствуют дуги парабол с ветвями, направленными вверх.

Вывод: Таким образом, эффективное множество состоит из двух кусков «пристыкованных» парабол.

8. В случае, когда прямые имеют другой наклон, процесс нахождения эффективного множества будет аналогичным, только движение будет в сторону от оси абсцисс.

Ниже показан случай, когда центр концентрических эллипсов лежит вне допустимой области.

Угловому портфелю будет соответствовать точка .

1. Угловой портфель получается в точке касания одного из элементов с границей допустимой области. Это соответствует минимально возможной средней дисперсии доходности портфеля.

2. это точка пересечения одного из эллипсов и границы области и границы области, в которой одна из прямых касается эллипса.

3. При дальнейшем увеличении эффективные портфели будут лежать на критической линии , в точках пересечения с которой прямые являются касательными к эллипсу. Точка пересечения критической линии с осью абсцисс определяет .

4. Дальнейшее движение от осуществляется по оси абсцисс в сторону возрастания пока не достигнем точки , которой в трехмерном пространстве соответствует .

Эффективное множество состоит из трех частей: , , . В каждой части в плоскости соответствует дуга параболы.

Вывод: Таким образом, при , эффективное множество полностью определяется угловыми портфелями.

В многомерном случае эффективное множество имеет аналогичную структуру, то есть для его построения нужно найти набор угловых портфелей. После этого эффективное множество определяется путем «пристыкования» парабол, соединяющих эти точки.