4. Алгоритм Марковица построения углового портфеля

Вспомогательные факторы

Предположение: Будем считать, что матрица строго положительно определена. В этом случае для всех ненулевых векторов квадратичная форма .

Теорема: Задача математического программирования

имеет единственное решение.

Доказательство: Допустимое множество в задаче является ограниченным, замкнутым и выпуклым, а ЦФ строго выпуклая.

Из теории выпуклого программирования следует, что имеет единственный глобальный минимум на допустимом множестве.

Теорема: Блочная матрица , где является не вырожденной, то есть у нее обратная матрица.

Доказательство: Предположим, что существует. Воспользуемся формулой Фробениуса для обращения блочной матрицы

, где .

Проверяется этот результат простым перемножением этой матрицы на матрицу : .

Замечание. Теорема остается справедливой, если вместо взять любой не нулевой n-вектор-столбец.

2.6.1. Критическая линия в n-мерном пространстве

Определение: Критической линией называется геометрическое место точек в n-мерном пространстве, которое является решением следующей задачи

когда пробегает все допустимые неотрицательные значения. Рассмотрим задачу без условия :

Решим методом Лагранжа:

Распишем первые уравнений в виде СЛАУ

,

Используя вид , запишем:

,

где . Запишем решение в компонентной форме:

где

, ,

, .

Покажем, как связано с :

Так как в исходной задаче , то .

2.6.2. Критические линии в подпространствах

Условия часто приводят к ситуации, когда при изменении в некоторых пределах часть компонент вектора равна , то есть для всех . Другие компоненты для любых (за исключением может быть крайних точек).

Таким образом, переменные изменяются в k-мерном подпространстве.

Определение: Переменные - базисные или базис. Критические линии в k-мерном подпространстве (если они существуют) находятся из решения задачи

где пробегает все допустимые неотрицательные значения. Поскольку эта задача имеет ту же структуру, что и задача , то и решение получается аналогичным образом.

, ,

Критическая линия в k-мерном подпространстве определяется формулой:

В компонентной форме получаем такие же формулы, что и раньше:

Коэффициенты находятся как в предыдущем случае (n-мерном пространстве).

2.6.3. Движение по частям критической линии

В алгоритме Марковица движение по критической линии проводится в сторону уменьшения , то есть от наибольшего допустимого значения , до наименьшего допустимого значения .

Для нахождения и будем решать оптимизационные задачи

Очевидно, решения этих задач имеют вид:

,

.

Таким образом, нужно, чтобы .

Для простоты рассмотрим критическую линию в n-мерном пространстве. На этой линии координаты точек являются функциями от : . Тогда дисперсия доходности , то есть . Ограничения будут иметь вид:

Продифференцируем эти три равенства по :

(1)

Рассмотрим уравнение критической линии: . Умножим на и просуммируем по :

(2)

Вспомним, что , где . Вычислим производную по :

Из сравнения (2) и , . С ростом также растет.

Вывод: При уменьшении , также уменьшается с наибольшего значения до наименьшего значения .