1.17. Описати схему випробувань Бернуллі….

Складна подія – суміщення декількох простих подій. Проводиться n незалежних випробувань, у кожному з яких подія А може з’явитись або ні, ймовірність однакова =р. Р не появи q=1-p.

Поставимо задачу дослідити Р того, що про п випробуваннях подія А відбудеться k раз і не відбудеться n-k раз. Не вимагається, щоб подія повторилась рівно k раз у певній послідовності. Шукана ймовірність: (k).

Вивід формули

Р однієї складної події, яка полягає в тому, що в n випробуваннях подія А наступить рівно k раз і не відбудеться n-k раз за теоремою множення ймовірностей незалежних подій . Таких складних подій може бути стільки, скільки може бути сполучень зn по k, тобто . Так як ці складні події несумісні, то за теоремою додавання несумісних подій шукана ймовірність = сумі ймовірностей всіх можливих подій. Оскільки всі ймовірності цих складних подій однакові, то шукана ймовірність = Р 1-ї складної події, помноженої на їх число : (k)=

1.18. Сформулювати граничні теореми у схемі випробувань Бернуллі: а) теорему Пуассона; б) локальну та інтегральну теорему Муавра-Лапласа. Записати відповідні формули, пояснити зміст позначень. Навести умови коректності застосування цих теорем. Навести приклади застосування. Навести основні властивості локальної та інтегральної функцій Лапласа.

А) теорема Пуассона:

Якщо число випробувань достатньо велике, а ймовірність р появи події в кожному випробуванні дуже мала, то:

Pn(k)≈ λ^k / k! * e^-λ , де λ=n·p, k – число появи події в n незалежних випробуваннях.

Приклад: n=400; p=0,01.

Б) Локальна теорема Лапласа:

Імовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких імовірність появи події рівна р (0< р<1), подія наступить рівно k разів (без різниці в якій послідовності), приблизно рівна (тим точніше, чим більше n):

Pn(k)≈ 1/√npq * φ(x), де x=(k – n*p)/ √npq

φ(x)= φ(-x); якщо x> значенню в табл., то φ(x)=0.

Дана формула дозволяє приблизно знайти ймовірність появи події рівно k раз в n випробуваннях, якщо кількість випробувань достатньо велика.

Приклад:

Знайти ймовірність того, що подія А наступить рівно 80 раз в 400 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні = 0,2. Умова: n=400, k=80, p=0,2; q=0,8.

Інтегральна функція Лапласа:

Імовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких імовірність появи події рівна р (0< р<1), подія наступить не менше k₁ разів і не більше k₂ раз, приблизно дорівнює:

P (k₁;k₂)= Ф(х^’’) – Ф(х^’), де х^’=(k₁ – n*p)/ √npq ; х^’=(k₂ – n*p)/ √npq

Ф (-х) = Ф (х); якщо х > 5, то Ф (х)= 0,5.

Приклад:

Ймовірність того, що деталь не пройшла перевірки, дорівнює р=0,2. Знайти ймовірність того, що серед 400 випадково відібраних деталей буде не провірених від 70 до 100 деталей. Умова: p=0,2; q=0,8; n=400; k₁=70; k₂=100.

1.19. Записати формули для обчислення у схемі випробувань Бернуллі: а) імовірності відхилення відносної частоти від імовірності; б) найбільш імовірного числа появ події. Пояснити зміст позначень. Навести приклади.

А) Імовірність відхилення відносної частоти від імовірності:

Імовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких імовірність появи події рівна р (0< р<1), абсолютна величина відхилення відносної частоти появи події від імовірності появи події не перевищить «+» числа ε, приблизно рівна подвійній функції Лапласа при х= ε*√n /pq:

P (|m/n – p|<= ε)= 2Ф (ε*√n /pq).

Приклад:

Ймовірність того, що деталь не стандартна, р=0,1. Знайти ймовірність того, що серед випадково відібраних 400 деталей відносна частота появи нестандартних деталей відхилиться від імовірності р=0,1 по абсолютні й величині не більше ніж на 0,03. Умова: n=400; p=0,1; q=0,9; ε=0,03.

Б) Найбільш імовірного числа появ подій:

np – q <= k₀ < np + p, де

k₀ – найімовірніше число; якщо імовірність того, що подія настане в цих випробуваннях k₀ раз, перевищує ймовірності інших можливих наслідків випробувань.

np – q – дріб, одне k₀

np – q – ціле, два числа k₀ та k₀+1

np – ціле, k₀= np.

Приклад:

Товарознавець оглядає 24 зразки товару. Ймовірність того, що кожен зразок буде визнаний придатним на продаж, = 0,6. Знайти найімовірніше число зразків, які товарознавець визнає придатними на продаж.