7. Пояснити зміст терміну «закон великих чисел». Сформулювати нерівність Чебишова в усіх формах. Навести приклади її застосування.

Граничні теореми, які встановлюють відповідність між теоретичними та дослідними характеристиками випадкових подій, об’єднують загальною назвою – закон великих чисел.

Перша форма нерівності Чебишова.

Для довільної випадкової величини Х, яка приймає невід’ємні значення та має скінчене математичне сподівання Р(Х≥1)≤М(Х).

P {X<1}≥1-mx.

Друга форма нерівності Чебишова.

Якщо довільна випадкова величина Х має скінчені математичне сподівання та дисперсію, то для довільного ε>0 має місце нерівність

або навпаки

7. Сформулювати основні теореми закону великих чисел: а)Бернуллі; б) Чебишова. Пояснити значення цих теорем для практики

а) т. Бернуллі: Нехай проводяться n повторних незалежних випробувань, в кожному з яких деяка подія А може настати з імовірністю р. m – число появ події у n випробуваннях

Отже P {|k/n – p|<ε}≥1

б) т. Чебишова: Нехай X_i – довільні попарно незалежні випадкові величини, кожна з них має якусь скінченну D[X]; M[X_i]=m_i

тоді Lim P{|∑(x_i)/n – m|<ε}=1

n→∞

7. Сформулювати центральну граничну теорему у формі Леві-Лідеберга в усіх видах. Сформулювати інтегральну теорему Муавра-Лапласа як окремий випадок попередньої теореми.

Нехай X_і , і=1,∞ - послідовність незалежних одинаково розподілених випадкових величин із кінцевою дисперсією. Позначимо M [X_і]=m і D [X_і]=σ² (>0).

Звідси: M [Σ x_і]=m*n; D [Σ x_і]=σ²*n.

Y_n= (Σx_i –m*n)/σ*√n

D [Y_n]=(1/ σ²*n)* (σ²*n)=1

F_n (y) – інтегральна функція розподілу:

F _n (y) Ф(y) + ½.

Інтегральна теорема Лапласа:

Нехай проводяться n повторних незалежних випробувань, коли подія А може настати з імовірністю р (0< р <1) і не настати з q=1- р.

X_i=1 – подія А настала;

X_i=0 – подія А не настала.

K раз в n випробуваннях настане А: k= Σ X_і= 0+0+1+1+1+0+0+… (k=3); D_x>0.

M [X_і]=0*q + 1*p = p; D [X_і]= (0 - p)² *q + (1 - p)² *p = p*q.

Звідси:

M [ΣX_і] = n*p.

D [ΣX_і] = n*p*q.

(K – n*p)/ √npq ≈ (ΣX_і – n*p)/ σ*√n

2.26. Пояснити як будуються випадкові величини, що мають розподіл: а) Пірсона ﻶ² (розподіл); б) Стьюдента (t-розподіл); в) Фішера (F – розподіл). Записати вирази для функцї щільності розподілу імовірномтей цих розподілів та їх основних числових характеристик. Пояснити зміст позначень.

А) Нехай - нормальні незалежні випадкові величини, причому математичне сподівання кожної з них дорівнює нулю, а середнє квадратичне відхилення – одиниці. Тоді сума квадратів цих величин

розподілена за законом з k=n степенями вільності; якщо ж ці величини пов'язані одним лінійним співвідношенням, наприклад , то число степенів вільності k=n-1. Щільність цього розподілу :

де - гамма-функція, зокрема .

Звідси видно, що розподіл «хі-квадрат» визначається одним параметром – числом степенів вільності k. Зі збільшенням числа степенів вільності розподіл повільно наближається до нормального.

Б) Нехай Z – нормальна випадкова величина, причому M(Z)=0, , a V – незалежна від Z величина, яка розподілена за законом з k степенями вільності. Тоді величина має розподіл, який називають t-розподілом або розподілом Стьюдента з k степенями вільності.

Отже, відношення нормованої нормальної величини до квадратного кореня з незалежної випадкової величини, розподіленої за законом «хі-квадрат» з k степенями вільності, поділеної на k, розподілено за законом Стьюдента з k степенями вільності. Зі зростанням числа степенів вільності розподіл Стьюдента стрімко наближається до нормального.

Щільність цього розподілу , де , де t – можливі значення випадкової величини.

В) Якщо U i V – незалежні випадкові величини, розподілені за законом зі степенями вільності i , то величина має розподіл, який називають розподілом Фішера-Снедекора зі степенями вільності i .

Щільність цього розподілу

де .

Звідси видно, що розподіл F визначається двома параметрами – числами степенів вільності.