12.Смесь газов в сосуде.
Пусть в замкнутом цилиндрическом сосуде с площадью основания S и высотой h находятся молекулы двух сортов: m1, n1, m2, n2 - концентрации и массы. Найдем распределение молекул по высоте.На дне сосуда x=0; на высоте x потенциальная энергия молекулы W = mgx. Концентрация на высоте x
Из условий постоянства числа молекул каждого сорта имеем
Проинтегрировав, находим концентрации молекул у дна сосуда
Из формул Больцмана видно, что концентрация более тяжелых молекул убывает с высотой быстрее, чем легких. Формула для отношения концентраций показывает, что тяжелый газ концентрируется у дна, а легкий – в верхней части.
Оценим порядки величин. Для конкретности возьмем водород и кислород. Температура воздуха T = 300К
При этих условиях показатели экспонент очень малы. Разложим в ряд
Возьмем x = 10км, тогда отношение концентраций изменяется в 3 раза.
Именно это изменение концентрации является причиной возникновения подъемной силы летательных аппаратов легче воздуха.
13.Разделение вещества на центрифуге
Быстро вращающийся цилиндр с угловой скоростью w. Пусть вещество с плотностью r1 и молекулярной массой М1 находится в жидкости с плотностью r и молекулярной массой М. Найдем, как будет распределена примесь относительно оси цилиндра. На частицы примеси во вращающейся жидкости действует центробежная сила с учетом выталкивающей силы Архимеда
Здесь
эффективная молекулярная масса;
V – объем одного моля.
Потенциальная энергия примеси во вращающейся жидкости
По закону Больцмана плотность числа частиц примеси на расстоянии r от оси цилиндра
Если полное число частиц примеси в цилиндре равно N, то должно выполняться условие сохранения числа частиц
Отсюда находим
При r = o и r = R
Число частиц в тонком слое у стенки цилиндра равно
14. Подъемная сила
Возникает в аппаратах легче воздуха
Рассмотрим цилиндр. У верхнего основания
Следовательно, давление на нижнее основание больше, чем на верхнее. Разность сил как по закону Архимеда
2. По другому в аэростате: мягкая оболочка с отверстием внизу, вверху – легкий газ, внизу – воздух. С увеличением высоты давление в легком газе падает медленнее, чем в воздухе. Следовательно, давление легкого газа на внутреннюю поверхность стенок больше, чем давление воздуха на внешнюю сторону. Пусть весь аэростат заполнен легким газом
С высотой концентрация частиц легкого газа и воздуха изменяется с различной скоростью и у верхнего основания.
Поэтому подъемная сила, действующая на верхнюю часть аэростата
Т.е., подъемная сила меньше силы, действующей на закрытый цилиндр, причем, меньше на величину силы тяжести легкого газа, внутри цилиндра.
Расчеты: подводная лодка, аэростат.
Броуновское движение.
15. Внутренняя энергия термодинамической системы
Внутренняя энергия какого-либо тела слагается из:
Wк поступательного движения и вращательного движения молекул;
Wк и Wр колебательного движения атомов в молекулах;
Wр взаимодействия между молекулами;
внутримолекулярной энергии (энергии электронных оболочек атомов и внутриядерной энергии).
Wк тела как целого и Wр во внешнем силовом поле во внутреннюю энергию тела не входят.
В термодинамические формулы входит не сама энергия, а ее изменение либо производная. Поэтому внутреннюю энергию можно определять с точностью до аддитивной постоянной, а выражение выбирать предельно простым Þ
Внутренняя энергия системы тел – сумма внутренней энергии каждого из тел и энергии взаимодействия между телами, но Wвзаим << W макроскопических тел Þ Wсист = ∑Wвнутр.эн.тел Þ внутренняя энергия системы тел – величина аддитивная.
Внутренняя энергия – функция состояния системы (не зависит от предыстории, значение – присущее этому состоянию) Þ ΔWвнутр. не зависит от пути, по которому совершен переход системы из одного состояния в другое, т.е. независимо от характера процесса, приведшего к этому переходу.