Билет 11.

Задача 1:

При испытаниях элементов после каждого часа фиксировалось число отказов, результаты испытаний сведены в таблицу. Построить эмпирическую функцию распределения, вычислить показатели надежности. После отказа элементы не восстанавливались.

	1	2	3	4	5
	0	3	3	5	9

Решение:

Эмпирическая функция распределения есть статистическая вероятность отказа, равная:

, где

– число объектов в начале испытания;

– число отказавших объектов в интервале времени ;

– время, для которого определяется ВБР.

Вычислим, результаты сведем в таблицу:

Например:

Учитывая, что после отказа элементы не восстанавливались:

и т.д.

	1	2	3	4	5
	0	0,15	0,3	0,55	1

Построим график эмпирической функции распределения:

Вычислим показатели надежности:

1. Определим ВБР на каждый момент времени. Статистически ВБР равна:

, где

– число объектов, исправно работающих на интервале [ ].

Вычислим, результаты сведем в таблицу:

Например:

Учитывая, что после отказа элементы не восстанавливались:

и т.д.

	1	2	3	4	5
	1	0,85	0,7	0,45	0

2. Определим ВО на каждый момент времени. Статистически ВО равна:

Вычислим, результаты сведем в таблицу:

Например:

Учитывая, что после отказа элементы не восстанавливались:

и т.д.

	1	2	3	4	5
	0	0,15	0,3	0,55	1

3. Определим среднее время наработки до отказа:

, где

- время безотказной работы - го изделия;

- общее число изделий, поставленных на испытания.

Результат:

4. Определим интенсивность отказов. Интенсивность отказов по статистическим данным об отказах определяется формулой:

, где

- число отказавших изделий за промежуток времени от ( ) до ( );

, где

- число исправно работающих объектов в начале интервала ;

– число исправно работающих объектов в конце интервала .

Вычислим, результаты сведем в таблицу:

Например:

Далее:

и т.д.

	1	2	3	4	5
	20	18,5	15,5	11,5	4,5
	0	0,16	0,19	0,43	2

Ответ: см. решение.

Задача 2:

Элемент имеет нормальный закон распределения времени работы до отказа, средняя наработка до отказа T=100 час дисперсия – 1000 час².

Вычислить все возможные параметры надежности элемента через 70 и 130 часов его эксплуатации.

Решение:

По условию, среднее время наработки до отказа . Дисперсия наработки до отказа . Среднее квадратическое отклонение наработки до отказа .

Следовательно, можно определить плотность распределения наработки до отказа:

3. Для :

Показатели безотказности (ВБР, ВО и интенсивность отказов) определяются с использованием функций и для:

и имеют вид:

Вычислим:

(см. Гмурман, Прил. 2)

4. Для :

Вычислим:

Ответ: см. решение.

Задача 3:

Дана матрица вероятностей переходов. Определить вероятность нахождения системы в 3 состоянии после двух переходов, если изначально система находилась в первом состоянии с вероятностью равной 1.

Решение:

Система в начальный момент находится в первом состоянии с вероятностью 1: .

1) Вероятность пребывания системы в том или ином состоянии после 1 перехода:

2) Вероятность пребывания системы в том или ином состоянии после 2 переходов:

Ответ: .

Задача 4:

При тестировании программы в течение 10 часов было обнаружено 4 ошибки из них 2 искусственно внесенных, общее количество искусственно внесенных ошибок равно 10. Определить первоначальное число ошибок в программе. Определить вероятность того, насколько правильно найдено первоначальное число ошибок в программе.

Решение:

Воспользуемся статистической моделью надежности: модель Миллса.

Таким образом,

.

Вероятность того, насколько правильно найдено первоначальное число ошибок:

, где

- мера доверия к модели, которая показывает насколько правильно найдено значение N;

- число найденных собственных ошибок;

- первоначальное число собственных ошибок;

- число внесенных искусственных ошибок.

Таким образом,

.

Ответ: 10 ошибок; 0,476.

Билет 12

Задача 1.

При испытаниях N=20 элементов после каждого часа фиксировалось число отказов, результаты испытаний сведены в таблицу. Построить эмпирическую функцию распределения, вычислить показатели надежности. После отказа исправные элементы заменялись на исправные.

	1	2	3	4	5
	0	3	3	5	9

Решение:

Эмпирическая функция распределения есть статистическая вероятность отказа:

где - число объектов в начале испытания;

- число отказавших объектов в интервале времени .

- время, для которого определяется ВБР.

- число объектов, исправно работающих на интервале .

	1	2	3	4	5
	0	0,15	0,3	0,55	1