1. Определим вбр на каждый момент времени:

т.к мы уже определили статистическую вероятность отказа, то ВБР можно определить:

	1	2	3	4	5
	1	0,85	0,7	0,45	0

2. Определим среднее время наработки до отказа:

Статическая средняя наработка до отказа однотипных объектов равна:

,

где t_j - время безотказной работы j- го изделия;

N₀- общее число изделий, поставленных на испытания.

Ответ: см. решение

Задача 2.

Элемент имеет нормальный закон распределения времени работы до отказа, средняя наработка до отказа часов дисперсия – .Вычислить все возможные параметры надежности элемента через 70 и 90 часов его эксплуатации.

Решение:

По условию, среднее время наработки до отказа . Дисперсия наработки до отказа . Среднее квадратическое отклонение наработки до отказа .

Следовательно, можно определить плотность распределения наработки до отказа:

5. Для :

Показатели безотказности (ВБР, ВО и интенсивность отказов) определяются с использованием функций и для:

и имеют вид:

Вычислим:

(см. Гмурман, Приложение 2)

6. Для :

Вычислим:

Ответ: см. решение

Задача 3.

Дана матрица вероятностей переходов. Определить вероятность нахождения системы в 3 состоянии после двух переходов, если изначально система находилась во втором состоянии с вероятностью равной 1.

Решение:

Система в начальный момент находится во втором состоянии с вероятностью 1: .

Вероятность пребывания системы в том или ином состоянии после 1 перехода:

Вероятность пребывания системы в том или ином состоянии после 2 переходов:

Ответ: 1/8

Задача 4.

При тестировании программы в течении 10 часов было обнаружено 5 ошибок из них 2 искусственно внесенных, общее количество искусственно внесенных ошибок равно 40. Определить первоначальное число ошибок в программе. Определить вероятность того, насколько правильно найдено первоначальное число ошибок.

Решение:

Воспользуемся статистической моделью надежности: модель Миллса.

Таким образом,

.

Вероятность того, насколько правильно найдено первоначальное число ошибок:

, где

- мера доверия к модели, которая показывает насколько правильно найдено значение N;

- число найденных собственных ошибок;

- первоначальное число собственных ошибок;

- число внесенных искусственных ошибок.

Таким образом,

.

Ответ: 60 ошибок; 0,396.

Билет 13.

Задача 1:

При испытаниях элементов после каждого часа фиксировалось число отказов, результаты испытаний сведены в таблицу. Построить эмпирическую функцию распределения, вычислить показатели надежности. После отказа неисправные элементы заменялись на исправные.

	1	2	3	4	5
	0	4	4	5	7

Решение:

Эмпирическая функция распределения есть статистическая вероятность отказа, равная:

, где

– число объектов в начале испытания;

– число отказавших объектов в интервале времени ;

– время, для которого определяется ВБР.

Вычислим, результаты сведем в таблицу:

Например:

Учитывая, что неисправные элементы меняются на исправные (то есть по мы не суммируем):

и т.д.

	1	2	3	4	5
	0	0,2	0,2	0,25	0,35

Построим график эмпирической функции распределения:

Вычислим показатели надежности:

5. Определим ВБР на каждый момент времени. Статистически ВБР равна:

, где

– число объектов, исправно работающих на интервале [ ].

Вычислим, результаты сведем в таблицу:

Например:

Учитывая, что неисправные элементы меняются на исправные (то есть по мы не суммируем) :

и т.д.

	1	2	3	4	5
	1	0,8	0,8	0,75	0,65

6. Определим ВО на каждый момент времени. Статистически ВО равна:

Вычислим, результаты сведем в таблицу:

Например:

Учитывая, что неисправные элементы меняются на исправные (то есть по мы не суммируем) :

и т.д.

	1	2	3	4	5
	0	0,2	0,2	0,25	0,35

7. Определим среднее время наработки до отказа:

, где

- время безотказной работы - го изделия;

- общее число изделий, поставленных на испытания.

Результат:

8. Определим интенсивность отказов. Интенсивность отказов по статистическим данным об отказах определяется формулой:

, где

- число отказавших изделий за промежуток времени от ( ) до ( );

, где

- число исправно работающих объектов в начале интервала ;

– число исправно работающих объектов в конце интервала .

Вычислим, результаты сведем в таблицу:

Например:

Далее:

и т.д.

	1	2	3	4	5
	20	18	18	17,5	16,5
	0	0,22	0,22	0,29	0,42

Ответ: см. решение.

Задача 2:

Элемент имеет нормальный закон распределения времени работы до отказа, средняя наработка до отказа , дисперсия - . Вычислить все возможные параметры надежности элемента через 90 и 120 часов его эксплуатации.

Решение:

По условию, среднее время наработки до отказа . Дисперсия наработки до отказа . Среднее квадратическое отклонение наработки до отказа .

Следовательно, можно определить плотность распределения наработки до отказа:

7. Для :

Показатели безотказности (ВБР, ВО и интенсивность отказов) определяются с использованием функций и для:

и имеют вид:

Вычислим:

(см. Гмурман, Приложение 2)

8. Для :

Вычислим:

Ответ: см. решение.

Задача 3:

Дана матрица вероятностей переходов. Определить вероятность нахождения системы в 3 состоянии после двух переходов, если изначально система находилась во втором состоянии с вероятностью равной 1. Определить все эргодические классы.

Решение:

Из условия, что система изначально находилась во втором состоянии с вероятностью равной 1, следует, что .

Найдем вероятности пребывания системы в том или ином состоянии.

После 1-го перехода:

После 2-х переходов:

Определим все эргодические классы:

Построим граф переходов, основываясь на матрице переходов:

Проанализировав граф переходов, приходим к выводу, что количество эргодических классов равно 1.

Ответ: 1; 1.

Задача 4:

При тестировании программы в течение 10 часов было обнаружено 5 ошибок, из них 3 искусственно внесенных, общее количество искусственно внесенных ошибок равно 30. Определить первоначальное число ошибок в программе. Определить вероятность того, насколько правильно найдено первоначальное число ошибок в программе.

Решение:

Для решения задачи применим статистическую модель надежности ПС - модель Миллса. Первоначальное число ошибок в программе оценивается по соотношению:

, где

число внесенных ошибок;

число найденных собственных ошибок;

число обнаруженных к моменту оценки искусственных ошибок.

Определим первоначальное число ошибок :

Определим вероятность того, насколько правильно мы нашли :

, где

- мера доверия к модели, она показывает насколько правильно найдено значение ;

- первоначальное число собственных ошибок.

Следовательно, при имеем:

Ответ: 20 ошибок; 0,58.

Задачи к билету №18.

Задача 1. При тестировании программ в течение 95 часов было обнаружено 12 ошибки из них 6 искусственно внесённых, общее количество искусственно внесённых ошибок равно 60. Определить первоначальное число ошибок в программе. Определить вероятность того, насколько правильно найдено первоначальное число ошибок в программе.

Дано:	Решение: 1) Первоначальное число ошибок в программе найдём из формулы: 2) Вероятность того, насколько правильно найдено первоначальное число ошибок в программе, определим по следующей формуле: , т.к. k – количество собственных ошибок, а n – количество обнаруженных собственных ошибок, следовательно , тогда получаем: Ответ: 1) 2)
Найти: 1) 2)

Задача 2. Элемент имеет экспоненциальные законы распределения времени работы до отказа и времени восстановления с параметрами соответственно и . Вычислить все возможные параметры надёжности элемента через 20 часов его эксплуатации.

Дано:

Решение: 1) Вероятность безотказной работы рассчитаем по следующей формуле: 2) Вероятность отказа за время 100 часов рассчитаем по следующей формуле: 3) Среднее время наработки до отказа: 4) Среднее время восстановления рассчитываем следующим образом: 5) Коэффициент готовности рассчитывается по формуле: 6) Коэффициент оперативной готовности рассчитаем по формуле: . 7) Частота отказов изделия или плотность вероятности времени безотказной работы изделия при экспоненциальном законе распределения вычисляется по формуле: Ответ: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

Найти: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

Задача 3. Дана матрица вероятностей переходов. Определить вероятность нахождения системы в 3 состоянии после двух переходов, если изначально система находилась в третьем состоянии с вероятностью равной 1.

Дано:	Решение: 1) Вероятность пребывания системы в том или ином состоянии после 1 перехода: 2) Вероятность пребывания системы в том или ином состоянии после 2 переходов: Ответ:
Найти: 1) 2)

Задача 4. Построить граф переходов и матрицу переходных вероятностей для системы, состоящей из одного рабочего элемента и 2 резервных. Интенсивность отказа каждого элемента равна . Второй резервный элемент загружен частично. Коэффициент загрузки равен 2,5. Восстановление элементов осуществляется одним ремонтным органом

Дано:	Решение: Ответ:
Найти: