Билет 20.
Задача 1:
При тестировании программы в течение 80 часов было обнаружено 32 ошибки из них 8 искусственно внесенных, общее количество искусственно внесенных ошибок равно 40. Определить первоначальное число ошибок в программе. Определить вероятность того, насколько правильно найдено первоначальное число ошибок в программе.
Решение:
Воспользуемся статистической моделью надежности: модель Миллса.
Таким образом,
.
Вероятность того, насколько правильно найдено первоначальное число ошибок:
, где
- мера доверия к модели, которая показывает насколько правильно найдено значение N;
- число найденных собственных ошибок;
- первоначальное число собственных ошибок;
- число внесенных искусственных ошибок.
Таким образом,
.
Ответ: 120 ошибок; 0,248.
Задача 2:
Элемент
имеет экспонициальные законы распределения
времени работы до отказа и времени
восстановления с параметрами соответственно
и
.
Вычислить все возможные параметры
надежности элемента через 50 часов его
эксплуатации.
Решение:
1) ВБР: , начальное состояние – работоспособное.
;
2) Вероятность
отказа:
3) Средняя
наработка до отказа:
.
4) Среднее
время восстановления:
.
5)
Коэффициент готовности:
.
6)
Коэффициент оперативной готовности:
.
Ответ: 0,9524; 0,0476; 20ч.; 1ч.; 0,9524; 0,9071/
Задача 3:
Дана матрица вероятностей переходов. Определить вероятность нахождения системы в 3 состоянии после двух переходов, используя любой из известных вам методов. Предполагаем, что изначально система находилась в первом состоянии с вероятностью равной 1.
Какова вероятность, что процесс закончится в поглощающем состоянии?
Решение:
1. Система в начальный момент находится в первом состоянии с вероятностью 1: .
1) Вероятность пребывания системы в том или ином состоянии после 1 перехода:
2) Вероятность пребывания системы в том или ином состоянии после 2 переходов:
2. Из матрицы переходов P вычеркиваются строки и столбцы с индексом поглощающего состояния и получают матрицу Q.
В данном случае 1 поглощающих состояния: 2 состояние.
Таким образом, имеем:
.
Среднее число попаданий процесса из состояния в состояние равно:
,
где - единичная матрица.
В таком случае имеет вид:
Среднее число шагов, которое требуется для перехода процесса из не поглощающего состояния в какое-нибудь поглощающее равно:
,
где - вектор-столбец, все компоненты которого равны 1.
Таким образом:
Вероятность того, что процесс завершится переходом в данное поглощающее состояние равно:
,
где - матрица, получаемая из матрицы вероятностей перехода вычеркиванием отвечающих поглощающим состояниям строк и не поглощающим состоянием столбцов.
.
Тогда вероятность равна:
Ответ:
;
.
Задача 4:
Построить
граф переходов и матрицу переходных
вероятностей для системы состоящей из
одного рабочего элемента и 2 резервных.
Один из резервных элементов не нагружен,
другой – частично нагружен. Интенсивность
отказа каждого элемента
.
Коэффициент загрузки ненагруженного
резерва 0,3. Восстановление элементов
осуществляется одним ремонтным органом
Решение:
Ответ: