Лабораторная работа № 6 исследование устойчивости линейных сар

Цель работы: освоение основных процедур работы в режиме АНАЛИЗ, включая: 

• подготовку структурной схемы САР для расчета ;

• анализ устойчивости замкнутой САР по амплитудно-фазовым частотным характеристикам разомкнутой САР, используя график годограф Найквиста или одновременное рассмотрение графиков ЛАХ и ФЧХ;

• анализ устойчивости разомкнутых и замкнутых САР с использованием частотного критерия Михайлова; 

• расчет коэффициентов, полюсов и нулей передаточных функций и определение устойчивости по теоремам Ляпунова (по полюсам или по собственным числам).

Теоретические сведения

Передаточная функция линейной системы в общем случае имеет вид

Алгебраический критерий устойчивости Гурвица предполагает исследо­вание матрицы, составленной из коэффициентов характеристического урав­нения:

Система устойчива, если все диагональные миноры матрицы Гурвица положительны.

Критерий устойчивости Михайлова в отличие от алгебраического критерия Гурвица, является частотным. Для устойчивости линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно, что бы изменение аргумента функции D(jω) при изменении ω от 0 до  равнялось бы n* т.е ∆ arg D(jω)= n* при 0  ω  

Анализ устойчивости по критерию Михайлова предполагает построение на комплексной плоскости годографа

при изменении ω от 0 до ∞.

Система будет устойчива, если годограф, начинаясь на положительной вещественной полуоси при ω = 0, проходит после­довательно п квадрантов против часовой стрелки, устремляясь в п-м в ∞.

Если годограф проходит через начало координат, то система находится на границе устойчивости .

Характеристический вектор A(jω) можно представить в виде

A(jω) = U(ω) + jV(ω)

где U(ω) - действительная, а jV (ω) - мнимая часть вектора A(jω). На границе устойчивости (рис.1, в) U(ω) = 0, jV (ω) = 0. Из этих уравнений можно определить значения параметров, при которых система находится на границе устойчивости.

Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой сис­темы по частотной характеристике разомкнутой системы. Если разомкнутая система устойчива, то замкнутая система также будет устойчивой в том слу­чае, когда АФХ разомкнутой системы W_p(jω) не охватывает точку (-1, jO) при изменении ω от 0 до ∞.

Методические указания

Работа выполняется с помощью пакета прикладных программ МВТУ.

Для анализа следует собрать схему, состоящую из генератора ступенчатого сигнала, исследуемой последовательности звеньев, графика выходного сигнала и сравнивающего устройства (рис.6.1). Подключите 2 блока "В память" (вкладка Субструктуры): Точка подключения 1-го блока В память- к линии связи между блоками Управляющее воздействие и Сравнивающее устройство, Точка подключения 2-го блока В память –точка на линии связи между Колебательным звеном и Графиком выходных характеристик. Имя первого блока "В память"- Вход, имя второго блока –Выход.

Рис.6.1. Структурная схема исследуемой системы

Отметим, что в соответствии с критериями устойчивости частотному анализу должна быть подвергнута разомкнутая САР. Особенность ПК "МВТУ" в том, что он проверяет, все ли входы и выходы соединены и если это не так, то не позволяет проводить моделирование. Поэтому не всегда можно разорвать обратную связь удалением соединительной линии. В данном случае можно просто установить коэффициент веса сравнивающего устройства по нижнему входу равным нулю. Для этого следует дважды щелкнуть по устройству сравнения в окне модели и в появившемся окне заменить второй весовой множитель с –1 на 0 (рис.6.2).

Рис. 6.2.