Правила дифференцирования

Приведем основные правила для нахождения производной:

1. Производная постоянной равна нулю, то есть c' = 0.

2. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, то есть

u(x) v(x))' = u'(x) v'(x).

3. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, то есть

(u(x)v(x))' = u'(x)v(x)+u(x)v'(x).

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

(cu(x))' = cu'(x).

4. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле

(u(x)/v(x))' = (u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/v2(x)

при условии, что v(x) 0.

Дифференцирование сложной и обратной функций

Приведем правило по которому можно найти производную сложной функции y = f((t)).

Теорема 3 (дифференцирование сложной функции). Пусть  функция x = (t) дифференцируема в точке t, а функция y = f(x) дифференцируема в соответствующей точке x = (t). Тогда сложная функция y = f((t)) дифференцируема в точке t, причем справедлива формула

(f((t)))' = f'(x)'(t).

(3)

Доказательство. Зададим x = (t) отличное от нуля приращение  t. Этому приращению отвечает приращение  x =  (t+ t)- (t) функции x = (t). Приращению x отвечает приращение  y = f(x+  x)-f(x). Так как функция y = f(x)дифференцируема, то ее приращение  y представимо в виде (1):

 y =f'(x) x + ( x)  x,

где lim_ x 0 ( x ) = 0. Поделив данное выражение на  t  0, будем иметь:

 y/ t=f'(x) x/ t+  ( x) x/ t.

Из дифференцируемости функции x =  (t) в точке t вытекает, что

lim_ t 0 x/ t = '(t).

Отметим, что из дифференцируемости функции x = (t) следует, что  x 0 при t 0. Следовательно, lim_ t 0 ( x) =0. Таким образом, получим необходимую формулу (3).

Пример 5. Найти y', если y = 5^{cos x}.

y' = 5^cos x(-sin x)ln 5=-5^cos x sin x ln 5.

Для нахождения производной обратной функции существует следующее правило, а именно справедлива теорема

Теорема 4 (производная обратной функции). Пусть функция y = f(x) возрастает (или убывает) и непрерывна в некоторой окрестности точки x. Пусть, кроме того, эта функция дифференцируема в точке x и f'(x)0. Тогда в некоторой окрестности соответствующей точки y = f(x) определена обратная функция x = f^-1(y), причем обратная функция дифференцируема в точке x = f^-1(y) и для ее производной справедлива формула

(f^-1(y))' = 1/f'(x).

Доказательство. Так как функция y = f(x) строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности точки x, то существует обратная функция x = f^-1(y), которая является строго монотонной и непрерывной в некоторой окрестности точки y = f(x).

Пусть  y 0 приращение для y, а  x - соответствующее приращение обратной функции x = f^-1(y). Тогда справедливо равенство

 x/ y = 1/( y/ x).

Переходя к пределу в последнем равенстве при  y 0 и учитывая, что в силу непрерывности обратной функции  x 0, получим

lim_ y 0 x/ y = 1/ (lim_ x 0 y/ x).

То есть, x'(y) = 1/y'(x).

Доказанная теорема имеет простой геометрический смысл. Пусть M –точка графика функции f(x), (рис.22), производная f'(x) равна тангенсу угла наклона касательной, проходящей через M, к оси OX, а производная обратной функции (f^-1(y))' в соответствующей точке y = f(x) равна тангенсу угла наклона  той же самой касательной к оси OY. Так как углы наклона /2, то формула нахождения производной обратной функции выражает очевидный факт: tg = 1/tg.

8