2.Необходимый признак экстремума.

В точке экстремума производная функции либо

равна нулю, либо функция недифференцируема.

Но, разумеется, этот признак – не достаточный:

он не гарантирует того, что если в точке

производная равна нулю или не существует, то эта

точка будет точкой экстремума. На рисунке

f/(c)=0, но экстремума в точке x=c нет!

Условимся точки, в которых выполняется

необходимый признак экстремума называть

критическими точками функции.

14

3.Первый достаточный признак наличия или отсутствия экстремума.

Если слева и справа от критической точки x0, в которой функция f(x) непрерывна,

существуют такие промежутки (x0-δ, x0) и (x0, x0+δ) (где δ - некоторое положительное

число), в каждом из которых f

/

(x) сохраняет постоянный знак, то точка x0 будет точкой

экстремума или не будет ею в зависимости от того, изменяется или не изменяется знак f

/

(x) при переходе через точку x0. Если f

/

(x) положительна слева от x0 и отрицательна справа

от нее, то есть смена знаков происходит по схеме (+, -), то точка x0 будет точкой

максимума, если по схеме (-,+), то точка x0 будет точкой минимума; если же смены

знаков у производной не происходит, то в точке x0 экстремума не будет.

Доказательство. Пусть f

/

(x) положительна слева и отрицательна справа от точки x0. Тогда

на основании доказанных теорем, следует, что функция f(x) возрастает в промежутке

(x0-δ, x0) и убывает в промежутке (x0, x0+δ). Но тогда, для всякого x∈(x0-δ, x0+δ), x≠x0

получим, что f(x0)>f(x), и поэтому точка x0 будет точкой максимума. Аналогично, если f

/

(x)

отрицательна слева и положительна справа от точки x0, то f(x) убывает в промежутке

(x0-δ, x0) и возрастает в промежутке (x0, x0+δ); точка x0 будет точкой минимума, так как

f(x0)<f(x) при x∈(x0-δ, x0+δ), x≠x0.

Если же знак f

/

(x) при переходе через x0 не изменяется, то при f

/

(x)>0 функция f(x)

возрастает, а при f

/

(x)<0 убывает в обоих промежутках (x0-δ, x0) и (x0, x0+δ). Поэтому, и в

том, и в другом случае, экстремума не будет.

2

х

0

х

у

О

О С х

у

15

Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

        Определение 7.1   Вертикальной асимптотой графика функции   называется вертикальная прямая  , если   или   при каком-либо из условий:  ,  ,  . Заметим, что мы при этом не требуем, чтобы точка   принадлежала области определения функции  , однако она должна быть определена по крайней мере в какой-либо из односторонних окрестностей этой точки:   или  , где  .     

        Пример 7.1   Рассмотрим функцию  . График   имеет вертикальную асимптоту  , поскольку при   выполняется условие  , а также при   выполняется условие  .     

Рис.7.1.Вертикальная асимптота функции 

Определение 7.2   Наклонной асимптотой графика функции   при   называется прямая  , если выполнены два условия:  1) некоторый луч   целиком содержится в  ;  2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при  :

(7.1)

Наклонной асимптотой графика функции   при   называется прямая  , если  1) некоторый луч   целиком содержится в  ;  2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при  :

    

Рис.7.6.Графики функций, имеющие наклонные асимптоты при   и при 

В случае, если наклонная асимптота расположена горизонтально, то есть при  , она называется горизонтальной асимптотой. Таким образом, горизонтальная асимптота -- частный случай наклонной асимптоты; прямая   является горизонтальной асимптотой графика   при   или  , если

или

соответственно.

Пример 7.7   График функции   имеет горизонтальную асимптоту   как при  , так и при  , поскольку, очевидно,   при  . Можно сказать также, что асимптота при   у этого графика совпадает с асимптотой при  .     

Рис.7.8.Горизонтальная асимптота функции 

16

График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале. График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале. На рисунке показана кривая, выпуклая на (a; b) и вогнутая на (b; c). Примеры. Полуокружность   выпукла на [–1; 1]. Парабола y = x2 вогнута на интервале (-∞; +∞). График функции в одних интервалах может быть выпуклым, а в других вогнутым. Так график функции y = sin x на [0,2; π], выпуклый в интервале (0; π) и вогнутый в (π; 2π). Рассмотрим достаточный признак, позволяющий установить, будет ли график функции в данном интервале выпуклым или вогнутым. Теорема. Пусть y=f(x) дифференцируема на (a; b). Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f''(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f''(x) > 0 – вогнутый. Доказательство. Предположим для определенности, что f''(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым. Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку M0 с абсциссой x0  (a; b) и проведем через точку M0 касательную. Ее уравнение  . Мы должны показать, что график функции на (a; b) лежит ниже этой касательной, т.е. при одном и том же значении xордината кривой y = f(x) будет меньше ордината касательной.

Итак, уравнение кривой имеет вид y = f(x). Обозначим   ординату касательной, соответствующую абсциссе x. Тогда  . Следовательно, разность ординат кривой и касательной при одном и том же значении x будет  .

Разность f(x) – f(x₀) преобразуем по теореме Лагранжа  , где c между x и x₀.

Таким образом,

.

К выражению, стоящему в квадратных скобках снова применим теорему Лагранжа:  , где c₁ между c₀ и x₀. По условию теоремы f ''(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

1. Предположим, что x>x₀. Тогда x₀<c₁<c<x, следовательно,   (x – x₀) > 0 и (c – x₀) > 0. Поэтому  .

2. Пусть x<x₀, следовательно, x < c < c₁ < x₀ и (x – x₀) < 0, (c – x₀) < 0. Поэтому вновь  .

Таким образом, любая точка кривой лежит ниже касательной к кривой при всех значениях x и x₀  (a; b), а это значит, что кривая выпукла. Вторая часть теоремы доказывается аналогично.

Точка   называется точкой перегиба графика функции y = f(x), если в данной точке существует касательная к графику функции (она может быть параллельна оси Оу) и существует такая окрестность точки  , в пределах которой слева и справа от точки М график функции имеет разные направления выпуклости. Другими словами, точка М называется точкой перегиба графика функции, если в этой точке существует касательная и график функции меняет направление выпуклости, проходя через нее. Если необходимо, обратитесь к разделу касательная к графику функции в точке, чтобы вспомнить условия существования невертикальной и вертикальной касательной. На рисунке ниже представлены несколько примеров точек перегиба (отмечены красными точками). Заметим, что некоторые функции могут не иметь точек перегиба, а другие могут иметь одну, несколько или бесконечно много точек перегиба. 

18