Понятие первообразной функции. Теорема о первообразных.
Основной
задачей дифференциального исчисления является
нахождение производной f’(x) или
дифференциала df=f’(x)dx функции f(x). В
интегральном исчислении решается
обратная задача. По заданной функции f(x)
требуется найти такую
функцию F(x), что F’(х)=f(x) или dF(x)=F’(x)dx=f(x)dx.
Таким
образом, основной
задачей интегрального исчисления является
восстановление функции F(x) по
известной производной (дифференциалу)
этой функции. Интегральное исчисление
имеет многочисленные приложения в
геометрии, механике, физике и технике.
Оно дает общий метод нахождения площадей,
объемов, центров тяжести и т.
д..
Определение. Функция F(x), 
,
называется первообразной для функции f(x)
на множестве Х, если она дифференцируема
для любого 
иF’(x)=f(x)
или dF(x)=f(x)dx.
Теорема. Любая
непрерывная на отрезке [a; b]
функция f(x)
имеет на этом отрезке
первообразную F(x).
Теорема. Если F1(x)
и F2(x)
– две различные первообразные одной и
той же функции f(x)
на множестве х , то они отличаются друг
от друга постоянным слагаемым, т.
е. F2(x)=F1x)+C,
где С – постоянная.
19
Неопределенный интеграл, его свойства.
Определение. Совокупность F(x)+C всех
первообразных функции f(x)
на множестве Х называется неопределенным
интегралом и обозначается:
-
(1)
В
формуле (1) f(x)dx называется подынтегральным
выражением, f(x)
– подынтегральной функцией, х –
переменной интегрирования, а С
– постоянной интегрирования.
Рассмотрим
свойства неопределенного интеграла,
вытекающие из его определения.
^ Производная из неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
и 
.
Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
Постоянный множитель а (а≠0) можно выносить за знак неопределенного интеграла:
