Метод половинного ділення

Для знаходження кореня рівняння (1), що належить відрізку [а,b], ділимо цей відрізок навпіл. Якщо f =0, то є коренем рівняння. Якщо f ≠0 (що, практично, найймовірніше), то вибираємо ту з половин або , на кінцях якої функція f(x) має протилежні знаки. Новий звужений відрізок [а₁, b₁]( знову ділимо навпіл і проводимо ті ж самі дії.

Метод половинного ділення практично зручно застосовувати для грубого знаходження кореня даного рівняння, метод простий і надійний, завжди сходиться.

Приклад 3. Методом половинного ділення уточнити корінь рівняння

f(x)( x4 + 2 x3 – x – 1 = 0 що лежить на відрізку [0, 1].

Послідовно маємо:

f(0)= - 1; f(1)= 1; f(0,5)= 0,06 + 0,25 – 0,5 – 1 = - 1,19;

f(0,75)= 0,32 + 0,84 – 0,75 – 1 = - 0,59;

f(0,875)= 0,59 + 1,34 – 0,88 – 1 = + 0,05;

f(0,8125)= 0,436 + 1,072 – 0,812 – 1 = - 0,304;

f(0,8438)= 0,507 + 1,202 – 0,844 – 1 = - 0,135;

f(0,8594)= 0,546 + 1,270 – 0,859 – 1 = - 0,043 і так далі

Можна прийняти

 = (0,859 + 0,875) = 0,867

Метод хорд

а)

б)

Рисунок 1. Метод хорд

У даному методі процес ітерацій полягає в тому, що як наближення до кореня рівняння (1) набувають значень х₁, х₂ ..., х_n точок перетину хорди АВ з віссю абсцис (Малюнок 3). Спочатку запишемо рівняння хорди AB:

а)

б)

Рисунок 2. Метод хорд

.

а б

Рисунок 3. Метод хорд

Для точки перетину хорди AB з віссю абсцис (х=х₁, у=0) отримаємо рівняння:

Хай для визначеності f  (x) > 0 при а  х  b (випадок f  (x) < 0 зводиться до нашого, якщо записати рівняння у вигляді ‑ f(x) = 0). Тоді крива у = f(x) буде опукла вниз і, отже, розташована нижче за свою хорду АВ. Можливі два випадки: 1) f(а) > 0 (Малюнок 3, а) і 2) f(b) < 0 (Малюнок 3, би).

а)

б)

Малюнок 2. Метод хорд

У першому випадку кінець а нерухомий і послідовні наближення: x₀ = b;

(5)

утворюють обмежену монотонно спадаючу послідовність, причому

У другому випадку нерухомий кінець b, а послідовні наближення: x₀ = а;

(6)

утворюють обмежену монотонно зростаючу послідовність, причому

Узагальнюючи ці результати, укладаємо:

1. нерухомий той кінець, для якого знак функції f (х) збігається із знаком її другої похідної f ( (х);

2. послідовні наближення xn лежать по той бік кореня (, де функція f (х) має знак, протилежний до знаку її другої похідної f ( (х).

Ітераційний процес продовжується до тих пір, поки не буде виявлено, що

x_i – x_{i - 1} < ,

де - задана гранична абсолютна похибка.

Приклад 4. Знайти додатній корінь рівняння

f(x)= x³ – 0,2 x² – 0,2 х – 1,2 = 0

з точністю  = 0,01.

Перш за все, відділяємо корінь. Оскільки

f (1) = -0,6 < 0 і f (2) = 5,6 > 0,

то шуканий корінь ξ лежить в інтервалі [1, 2]. Отриманий інтервал великий, тому розділимо його навпіл. Оскільки

f (1,5) = 1,425 > 0, то 1< ( < 1,5.

Оскільки f ˝ (x) = 6 x – 0,4 > 0 при 1 < х < 1,5 і f (1,5) > 0, то скористаємося формулою (5) для розв’язок поставленого завдання:

= 1,15;

x₁ – x₀  = 0,15 >  ,

отже, продовжуємо обчислення;

f (х1) = -0,173;

= 1,190;

x₂ – x₁  = 0,04 >  ,

f (х2) = -0,036;

= 1,198;

x₃ – x₂  = 0,008 <  .

Таким чином, можна прийняти  = 1,198 з точністю  = 0,01.

Відмітимо, що точний корінь рівняння  = 1,2.