2.3. Символічне розв’язування систем рівнянь

У багатьох випадках Розв’язування системи рівнянь може бути знайдене не лише чисельно, але і аналітично. Для цього так само використовується блок given і функція Find, але замість знаку рівності після функції слід поставити знак символічного перетворення –> (Ctrl+.).

Рішення записане у вигляді матриці. Кожен стовпець відповідає парі (x,y), тобто знайдені рішення (1,3) і (3,1).

Порядок виконання роботи

1. Розв’язати систему лінійних рівнянь (Таблиця 1):

1. Використовуючи функцію Find;

2. Матричним способом і використовуючи функцію lsolve;

3. Методом Гауса;

4. Методом ітерації.

2. Оцінити похибку розв’язку методом ітерації.

3. Звіт повинен містити текст програми та результат її виконання.

Таблиця 1.

Варіант	Система лінійних рівнянь	Варіант		Система лінійних рівнянь
		9.
		10.
		11.
		12.
		13.
		14.
		15.

Контрольні питання:

8. В яких випадках систему лінійних рівнянь неможливо розв’язати методом Гаусса?

9. Які функції Madcad можна використовувати для розв’язання системи лінійних рівнянь точними методами?

10. Яка система рівнянь називається однорідною?

11. В чому полягає суть методу головних елементів?

12. Напишіть основні формули схеми Халецького.

Практична робота № 4

Тема: Інтерполяція функцій.

Мета: Вивчити способи проведення інтерполяції табличних даних в MATHCAD.

Ознайомитися з функціями побудови рівнянь регресії в MATHCAD.

Теоретичні відомості

Інтерполяція

При проведенні аналізу різних фізичних явищ, технологічних процесів результати

експерименту зазвичай представляються у вигляді табличної залежності функції в(x):

x	x1	x2	x3	.	xn-1	xn
в	y1	y2	y3	.	yn-1	yn

При цьому число заданих точок цієї залежності обмежене.

Тому неминуче виникає завдання наближеного обчислення значень функції в проміжках між вузловими точками (інтерполяція) і за їх межами (екстраполяція). Це завдання вирішується апроксимацією або інтерполяцією вихідної залежності, тобто її підміною якою небудь простою функцією. У MATHCAD є вбудовані функції, що забезпечують кусково-лінійну інтерполяціюі інтерполяцію сплайнами вихідної табличної залежності.

При кусково-лінійній інтерполяції сусідні вузлові точки з'єднуються відрізками прямих, і

додаткові точки визначаються по рівняннях цих прямих. Для проведення такого вигляду інтерполяції використовується функція linterp (VX, VY, x), де VX і VY – вектори, які задають вузлові точки вихідної табличної залежності, а x – аргумент результуючої інтерполяційної функції.

При досить малому числі вузлових точок виходять досить грубими. Тому в цілях підвищення точності доцільніше використовувати інтерполяцію сплайна, при якій вихідна функція замінюється відрізками кубічних поліномів, які проходять через три суміжні вузлові точки. Коефіцієнти поліномів розраховуються так, щоб безперервними були їх перші і другі похідні.

Для виконання інтерполяції сплайна в MATHCAD є чотири вбудовані функції. Три

з них забезпечують знаходження вектора других похідних сплайн-функцій при різних способах інтерполяції сплайна:

• cspline (VX, VY) – повертає вектор VS других похідних при наближенні в опорних точках до кубічного полінома;

• pspline (VX, VY) – повертає вектор VS других похідних при наближенні в опорних точках до параболічної кривої;

• lspline (VX, VY) – повертає вектор VS других похідних при наближенні в опорних точках до прямої.

Четверта функція interp (VS, VX, VY, x) визначає для знайденого раніше вектора других похідних VS і заданою за допомогою векторів VX і VY вихідної табличної залежності у(x) інтерполяційну функцію сплайна.

Таким чином, інтерполяція сплайна в MATHCAD виконується в два етапи. На першому етапі визначається вектор других похідних VS за допомогою однієї з трьох функцій (cspline, pspline або lspline), а на другому – визначається інтерполяційна залежність за допомогою функції interp.

Інтерполяція сплайна дає більш гладкий і точний графік інтерполяційної функції.

Порядок виконання роботи:

1. По заданій таблиці значень побудувати формулу інтерполяційного многочлена Лагранжа (1) і побудувати графік L₂(x) вихідні дані брати із таблиці 1.1.

Таблиця 1.

№	х0	x1	x2	y0	у1	y2
1	2	3	5	4	1	7
2	4	2	3	5	2	8
3	0	2	3	-1	-4	2
4	7	9	13	2	-2	3
5	-3	-1	3	7	-1	4
6	1	2	4	-3	-7	2
7	-2	-1	2	4	9	1
8	2	4	5	9	-3	6
9	-4	-2	0	2	8	5
10	-1	1.5	3	4	-7	1
11	2	4	7	-1	-6	3
12	-9	-7	-4	3	-3	4
13	0	1	4	7	-1	8
14	8	5	0	9	2	4
15	-7	-5	-4	4	-4	5

2 Виконати в MATHCAD заданого вигляду інтерполяцію табличних даних у=f(x). Побудувати графіки.

Варіант	Вихідні дані у=f(x)	Вид інтерполяції
	x = [0 3 4 5 7 8 11 14 17] y = [-3 0 2 10 9 14 21 25 31]	Кусково-лінійна
	х = [1 2 3 4 5 6 7 8 9] y = [12,5 10 13,6 17,4 21,5 20,5 29,3 27,6 31,2]	Кусково-лінійна
	X = [5 10 15 20 25 30 35 40] y = [99,1 50,6 23,5 20,1 45,7 51,1 76,0 110,1]	сплайнами
	x = [0,5 0,7 1,0 1,1 1,5 1,8 1,9 2,2 2,3] y = [14,5 10,1 9,6 5,5 3,6 0,5 -0,3 -7,6 -8,0]	Кусково-лінійна
	x = [0 3 4 5 7 8 11 14 17] y = [-3 0 2 10 9 14 21 25 31]	сплайнами
	x = [-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4] y = [12 23 33 41 47 56 59]	Кусково-лінійна
	x = [3,7 5,1 6 7,2 8 8,3 8,9 9,4 9,6] y=[14 16 12 12 10,3 9 7 8,9 5 1]	сплайнами
	x = [1,3 1,5 2,0 3,4 6,1 7,0 9,3 10,2 11] y = [120 115 100 99 81 72 64 55 48]	Кусково-лінійна
	x = [100 111 120 124 128 131 156 163 170] y = [315 299 250 266 270 111 91 100 78]	сплайнами
	x =[0,5 0,7 1,0 1,1 1,5 1,8 1,9 2,2 2,3] y = [14,5 10,1 9,6 5,5 3,6 0,5 -0,3 -7,6 -8,0]	Кусково-лінійна
	x = [5 10 15 20 25 30 35 40 45 50] y = [99,1 50,6 23,5 20,1 45,7 51,1 76 110,1 156,1 176,2]	сплайнами
	x = [0 3 4 5 7 8 11 14 17] y = [-3 0 2 10 9 14 21 25 31]	Кусково-лінійна
	х = [0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 - 7 -8] y = [1 0,5 0,3 -0,2 0,1 0,6 0,3 -0,2 0]	сплайнами
	x = [1 2 3 4 5 6 7 8] y = [12,5 10 13,6 17,4 21,5 20,5 29,3 27,6]	сплайнами
	x = [2 4 6 8 10 12 14 16] y = [1 1,5 1,2 3 4,1 7,2 5,5 3,4]	Кусково-лінійна

Контрольні питання:

1. В чому полягає поняття інтерполяції та апроксимації.

2. Як будуються многочлени Лагранжа та Ньютона?

3. Як повя’заний степінь інтерполяційного многочлена з кількістю вузлів інтерполяції?

4. Як виконується оцінка похибки методу інтерполяції многочленом Лагранжа?