Тема 4. Функции случайного аргумента

При решении различных задач, связанных со случайными явлениями, современная теория вероятностей широко пользуется аппаратом случайных величин. Для чего необходимо знать законы распределения фигурирующих в задаче случайных величин. Эти законы могут быть определены из опыта, но обычно опыт, целью которого является определение закона распределения случайной величины или системы случайных величин (особенно в области военной техники), оказывается и сложным и дорогостоящим. Возникает задача - свести объем эксперимента к минимуму и составлять суждение о законах распределения случайных величин косвенным образом, на основании уже известных законов распределения других случайных величин. При этом обычно интересующая нас случайная величина представляется как функция других случайных величин; зная законы распределения аргументов, часто удается установить закон распределения функции.

13.2. Функция одного случайного аргумента и ее распределение

Предварительно заметим, что далее, вместо того чтобы говорить «закон распределения вероятностей», бу­дем часто говорить кратко —«распределение».

Если каждому возможному значению случайной вели­чины X соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y называют функцией случайного аргу­мента X:

Далее показано, как найти распределение функции по известному распределению дискретного и непрерывного аргумента.

1. Пусть аргумент X—дискретная слу­чайная величина.

а) Если различным возможным значениям аргумента X соответствуют различные возможные значения функции Y, то вероятности соответствующих значений Х и Y между собой равны. Вычислив значения функции Yи присвоив им значения вероятностей соответствующих значений величины Х, получим закон распределения вероятностей функции Y

Пример. Найти распределение функции Y = X² , если дискретная случайная величина X задана распреде­лением

X	2	3
p	0.6	0.4

Решение. Найдем возможные значения Y : . Искомое распределение Y:

Y	4	9
p	0.6	0.4

Если различным возможным значениям X соответствуют значения Y, среди которых есть равные между собой, то следует складывать вероятности повторяющихся значений Y

Пример. Найти распределение функции Y = X² , если дискретная случайная величина X задана распреде­лением

X	-2	2	3
p	0.4	0.5	0.1

Решение. Вероятность возможного значения равна сумме вероятностей несовместных событий Х = - 2, Х = 2, т. е. 0,4+0,5= 0,9. Вероятность возможного значения равна 0,1. Искомое распределение У:

Y	4	9
p	0.9	0.1

2. Пусть аргумент X — непрерывная случайная величина. Как найти распределение функции , зная плотность распределения случайного аргумента X?

Доказано: если — дифференцируемая, строго возрастающая или строго убывающая функция, обратная функция которой , то плотность рас­пределения g(y) случайной величины Y находится с по­мощью равенства

Пример. Случайная величина X распределена нормально, при­чем ее математическое ожидание а = 0. Найти распределение функции Y = Х³.

Решение. Так как функция дифференцируема и строго возрастает, то можно применить формулу

Найдем функцию, обратную функции :

Найдем . По условию, плотность распределения нормального распределения, при а = 0

поэтому

Найдем производную обратной функции по у:

Искомую плотность распределения,

=

Замечание. Пользуясь формулой , можно доказать, что линейна функция Y=AX+B нормально распределенного аргумента X также распределена нормально, причем для того, чтобы найти математическое ожидание Y надо в выражение функции подставить вместо аргумента X его математическое ожидание а:

M(Y)=Aa+B

для того, чтобы найти среднее квадратическое отклонение Y надо среднее квадратическое отклонение X умножить на модуль коэффициента при X