13.5. Устойчивость нормального распределения

Закон распределения вероятности называют устойчивым, если композиция таких законов есть тот же закон , отличающийся параметрами.

Нормальный закон обладает свойством устойчивости. Композиция нормальных законов имеет нормальное распределение, при этом математическое ожидание и дисперсия композиции равна суммам математических ожиданий и дисперсий слагаемых.

Тема 4. Функции случайного аргумента

При решении различных задач, связанных со случайными явлениями, современная теория вероятностей широко пользуется аппаратом случайных величин. Для чего необходимо знать законы распределения фигурирующих в задаче случайных величин. Эти законы могут быть определены из опыта, но обычно опыт, целью которого является определение закона распределения случайной величины или системы случайных величин (особенно в области военной техники), оказывается и сложным и дорогостоящим. Возникает задача - свести объем эксперимента к минимуму и составлять суждение о законах распределения случайных величин косвенным образом, на основании уже известных законов распределения других случайных величин. При этом обычно интересующая нас случайная величина представляется как функция других случайных величин; зная законы распределения аргументов, часто удается установить закон распределения функции.

13.2 Функции одномерного случайного аргумента

Пусть на вероятностном пространстве ( , F, P) задана случайная величина X. Предположим, что имеется числовая функция скалярного аргумента x. Случайную величину назовем функцией от одномерной случайной величины X. Покажем, как построить закон распределения функции , зная закон распределения случайного аргумента X.

1. Пусть случайная величина X является дискретной.

Функция от СВДТ X снова является дискретной случайной величиной, принимающей значения с вероятностями , где – множество возможных значений СВДТ X. Тогда для нахождения функции распределения можно воспользоваться соотношением

.

Однако, как правило, удобнее вначале составить ряд распределения случайной величины . Чтобы его построить, необходимо объединить в один столбец все одинаковые значения , приписав этому столбцу суммарную вероятность.

Пример 1. Закон распределения случайной величины X имеет вид:

X	–2	0	2	3
P	0,2	0,3	0,1	0,4

Рассмотрим две числовые функции и . Подставляя вместо аргумента x случайную величину Х, получим новые случайные величины и . Построить ряды распределений случайных величин: 1)  , 2)  . Составить их функции распределения.

Решение. 1) Найдем возможные значения случайной величины Y= :

, , , .

Тогда ряд распределения случайной величины Y имеет вид:

Y	–8	0	8	27
P	0,2	0,3	0,1	0,4

Составим теперь функцию распределения случайной величины :

2) Найдем вначале значения функции :

, , , .

Значит, случайная величина Z имеет три возможных значения:

, , .

Вероятность возможного значения равна сумме вероятностей несовместных событий и , т.е. . Поэтому ряд распределения случайной величины Z имеет вид:

Z	0	4	9
P	0,3	0,3	0,4

Составим теперь функцию распределения случайной величины :

Ответ: 1)  2) 

2. Пусть случайная величина X является непрерывной.

Рассмотрим вначале случайную величину , где – гладкая строго монотонная функция скалярного аргумента x, а X – СВНТ с плотностью . Тогда плотность распределения случайной величины Y находится по формуле:

,

где – обратная по отношению к функция.

Если же – немонотонная функция на множестве возможных значений X, то следует разбить этот промежуток на такие интервалы, в которых функция монотонна, и найти плотности распределений для каждого из интервалов монотонности, а затем представить в виде суммы

.

В частности, если функция монотонна в двух интервалах, в которых соответствующие обратные функции равны и , то

.

Пример 2. Найти плотность распределения СВНТ ( ), где СВНТ X имеет плотность .

Решение.  при гладкая строго монотонная функция. Тогда обратная функция . Отсюда . Таким образом,

.

Ответ: .

Пример 3. Случайная величина X распределена нормально с параметрами m и ( ). Доказать, что линейная функция , где , также распределена нормально, причем , .

Решение. Напишем плотность распределения случайной величины X:

.

Применим формулу , выведенную в предыдущем примере 2.3.2. Получим

.

Отсюда видно, что .

Пример 4. Случайная величина X распределена по закону Коши

.

Найти плотность распределения случайной величины .

Решение.  гладкая строго монотонная функция. Тогда обратная функция . Отсюда , причем . Значит, .

Таким образом, .

Ответ: .

Пример 5. Случайная величина X распределена равномерно в интервале ( ). Найти плотность распределения случайной величины .

Решение. Найдем плотность распределения случайной величины X:

Из уравнения найдем обратную функцию . Поскольку в интервале функция немонотонна, то необходимо разбить этот интервал на интервалы и , в которых эта функция монотонна. На интервале обратная функция , на интервале обратная функция . Тогда искомая плотность распределения может быть найдена из равенства

.

Найдем производные обратных функций:

, .

Тогда модули производных равны

, .

Учитывая, что при , получим

, .

Отсюда

.

Так как при , то . Таким образом, на интервале искомая плотность распределения равна , вне этого интервала .

Ответ:

Рассмотрим далее на примерах, как находится функция распределения случайной величины , если известна функция распределения случайной величины X.

Пример 2.3.6. Задана функция распределения случайной величины X. Найти функцию распределения случайной величины , если: 1)  ; 2)  .

Решение. 1) По определению функции распределения . Поскольку функция – возрастающая, то неравенство выполняется, если имеет место неравенство , поэтому

.

Из уравнения выразим x: . Тогда

.

2) По определению функции распределения . Поскольку функция – убывающая, то неравенство выполняется, если имеет место неравенство , поэтому

.

Из уравнения выразим x: . Тогда

.

Ответ: 1)  ; 2)  .