13.3. Функции многомерных случайных величин

Функция многомерной случайной величины определяется аналогично тому, как определялась функция одномерной случайной величины. Рассмотрим это на примере двумерной случайной величины. Пусть на вероятностном пространстве ( , F, P) задана двумерная случайная величина . Предположим, что имеется числовая функция скалярных аргументов x и y. Случайную величину назовем функцией от двумерной случайной величины .

1. Пусть случайные величины X и Y являются дискретными.

Функция от двумерной дискретной случайной величины снова является дискретной случайной величиной, принимающей значения с вероятностями , где – множество возможных значений компоненты X, – множество возможных значений компоненты Y. Тогда для нахождения функции распределения можно воспользоваться соотношением

Однако, как правило, удобнее вначале составить ряд распределения случайной величины . Чтобы его построить, необходимо исключить все те значения , вероятность которых равна нулю, и объединить в один столбец все одинаковые значения , приписав этому столбцу суммарную вероятность.

Пример 2.3.9. Распределение случайного вектора задано таблицей:

Y X	–1	0	1
–1	0,07	0,1	0,13
1	0,2	0,23	0,27

Составить закон распределения случайной величины .

Решение. Найдем вначале значения функции :

, , , , , .

Значит, случайная величина Z имеет два возможных значения:

, .

Вероятность возможного значения равна сумме вероятностей несовместных событий и , т.е. . Вероятность возможного значения равна сумме вероятностей несовместных событий , , и , т.е. . Поэтому ряд распределения случайной величины Z имеет вид:

Z	0	1
P	0,33	0,67

Таким образом, случайной величины Z имеет биномиальное распределение .

Ответ: .

2. Пусть случайные величины X и Y являются непрерывными.

В случае, когда – двумерная непрерывная случайная величина с плотностью , функция распределения случайной величины определяется формулой

.

Область интегрирования здесь состоит из всех точек x и y, для которых . Найдя функцию распределения , далее можно дифференцированием по z (в тех точках, в которых имеет производную по z) найти плотность распределения случайной величины Z.

Пример 2.3.10. Случайная точка распределена равномерно в квадрате Q со стороной 1 (рис. 2.3.1 а). Найти закон распределения площади Z прямоугольника со сторонами X и Y: .

Решение. Очевидно, что в данном случае случайные величины X и Y независимы (Советуем убедиться в этом самостоятельно!):

Область интегрирования заштрихована на рис. 2.3.1 б.

а б

Рис. 2.3.1.

Тогда

,

где . Таким образом, окончательно получим:

Дифференцируя это выражение по z, получим плотность распределения случайной величины Z:

Ответ: