Лекция 8. Приложения производной.

ПАРАГРАФ 1. Основные теоремы дифференциального счисления.

Теорема Ролля. Пусть ф-ия f(x) удов условиям: 1. Непрерывна на [a,b].

2. Дифференцируема в интервале (a,b). 3. На концах отрезка принимает равные значения. f(a)=f(b) Тогда сущ с (а,в) : f’(c)=0.

Теорема Лагранжа. Пусть ф-ия f(x) удов условиям: 1. Непрерывна на [a,b].

2. Дифференцируема в интервале (a,b). Тогда сущ с (а, в) : справедл ф-ла f(b)-f(a)/b-a=f’(c) формула конечных приращений. (формула Лагранжа).

Замечание. Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа, если положить f(a)=f(b).

Теорема Коши. Пусть ф-ия f(x) удовл условиям: 1. Непрерывна на [a,b].

2. Дифференцируема в интервале (a,b). 3. φ’(x)≠0 ұ x (a,b) : справед ф-ла f(в)-f(а)/φ(в)-φ(а)=f’(c)/φ’(c). (формула Коши)

Замечание: теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши, если положить , что φ(х)=х.

ПАРАГРАФ 2. Правило Лопиталя.

Опр1. Если limφ(x)=limg(x)=0(либо ∞), то говорят , что в (.) а ф-ия f(x)= φ(x)/g(x) имеет неопределенность вида 0/0(либо ∞/∞). Замечание! Другие виды неопределенностей ∞0;∞-∞;0;∞;1 определяются аналогично.

Опр2. Вычисление пределов ф-ий в (.) их неопред наз-ся раскрытием неопределенностей.

Теорема 4. (правило Лопиталя)!!! Предел отношения двух БМ или ББ ф-ий равен пределу отношения их производных, если последний сущ-т, т.е. если limf(x)= limφ(x)=0 (либо ∞), то limf(x)/φ(x)= limf’(x)/φ’(x) если предел справа сущ-т, при этом а может быть как числом, так и ∞.

Замечание!!! Правило Лопиталя применяется только для раскрытия неопределенностей вида 0/0(∞/∞), а неопр вида ∞0;∞-∞;0;∞;1 сначала с помощью тождественных преобразований сводятся к основным видам неопределенностей 0/0(∞/∞), а уже затем раскрываются с помощью правила Лопиталя.

Замечание! Иногда правило Лопиталя приходится применять несколько раз, т.е. переходить к пределу отношения вторых производных, третьих и т.д.

Замечание! Для раскрытия степенных неопределенностей 0;∞;1 применяются взаимообратные преобразования логарифмирование - потенцирование (а=е ).

ПАРАГРАФ 3. Возрастание и убывание ф-ии.

Теорема 5. (достат условие возрастания (убывания) ф-ии) Если произ дифференцируемой ф-ии +(-) внутри некоторого промежутка, то ф-ия возрастает (убывает) на этом промежутке. f(x) Х, f’(x)>0 внутри Х, f(x) X, f’(x)<0 внутри Х.

Опр3. Интервалы, в кот данная ф-ия возрастает или убывает наз-ся интервалами монотонности этой ф-ии.

ПАРАГРАФ 4. Экстремум функции.

Опр4. Говорят, что ф-ия f(x) имеет в (.) а максимум(минимум), если в некот окрестности (.) а выполняется неравенство f(а)≥ f(в) (f(а)≤ f(в)). При этом (.) а наз-ся (.) мах(мин) ф-ии f(x) .

Опр5. Мах или мин ф-ии наз-ся экстремум ф-ии(с лат «крайнее»).

Теорема 5. I достаточное условие экстремума. Если через (.) х0 производная дифференцируемой ф-ии меняет знак 1. с +на- то х0-(.) мах, 2. с – на +, то х0-(.) мин.

Теорема 6. II достаточное условие экстремума. Пусть f(x) дважды дифф в (.) х0, причем f’(x0)=0, если при этом 1. f’’(x0)<0, то х0-(.) мах, 2. f’’(x0)>0, то х0-(.) мin.