Лекция 15. Несобственные интегралы. Ф-ии нескольких переменных.

При определении опр интеграла Sf(x)dx ми предполагали:

1. Промежуток [a,b] конечен 2. Ф-ия f(x) ограничена на [a,b]

Такой опр интеграл наз-ся собственным. Слово собственный обычно опускается. Если нарушается хотя бы одно из этих двух условий, то опр интеграл наз-ся несобственным.

ПАРАГРАФ 1. Интегралы с бесконечными пределами.

Опр1. Несобственным интегралом от ф-ии f(x) на [a,+∞] наз-ся limSf(x)dx. При этом пишут Sf(x)dx=lim Sf(x)dx. Если указанный предел сущ-т и конечен, то несобств интеграл наз-ся сходящимся.

Замечание. Геометрически несобственный интеграл представляет собой S бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной линиями х=а у=0 у=f(x).

Замечание! Аналогичным образом определяется несобств интеграл и для других бесконечных промежутков. Sf(x)dx=lim Sf(x)dx Sf(x)dx= Sf(x)dx+ Sf(x)dx с-любая внутр точка. При этом если каждый из двух интегралов, стоящих справа сходится, то сходится по опр и интеграл, стоящий слева.

ПАРАГРАФ 2. Интегралы от неограниченных ф-ий.

Опр2. Пусть ф-ия f(x) непрерывна на полуинтервале [a,b) и в (.) b имеет бесконечный разрыв, т.е. limf(x)=∞, тогда несобственный интеграл от ф-ии f(x) на [a,b] наз-ся limSf(x)dx, ε>0 При этом пишут: Sf(x)dx= limSf(x)dx Если указанный предел сущ и конечен, то несобственный интеграл наз-ся сходящимся, в противном случае расходящимся.

Замечание! Если ф-ия f(x) имеет бесконечный разрыв на левом конце отрезка [a,b], то по опр полагают Sf(x)dx= limSf(x)dx

Замечание! Если ф-ия имеет разрыв в некоторой внутренней (.) с отр [a,b], то полагают Sf(x)dx= Sf(x)dx+ Sf(x)dx При этом интеграл Sf(x)dx считается сходящимся, если сходятся оба несобственных интеграла, стоящих в правой части, в противном случае Sf(x)dx наз-ся расходящимся.

Функции нескольких переменных.

ПАРАГРАФ 1. Основные понятия.

Опр1. Пусть имеется n переменных величин и каждому набору их значений (х1,х2,…,хn) из некоторого мн-ва Х соответствует одно вполне опр значение переменной вел-ны z. Тогда говорят, что задана ф-ия нескольких переменных z=f(x1,x2,…,xn). При этом переменные x1,x2,…,xn наз-ся независимыми переменными или аргументами, z-зависимой переменной, f – закон соответствия, Х- областью опр ф-ии и обозн D(z).

Опр2.Графиком ф-и z=f(x,y) наз-ся множество G(z)={(x,y,z)εR³|z=f(x,y),(x,y)εD(z)} Графиком ф-ии z=f(x,y) представляет собой некоторую поверхность в трехмерном пространстве.

ПАРАТРАФ 2. Предел и непрерывность функции двух переменных.

Опр3. Окрестностью (.) на плоскости наз-ся любой круг с центром в данной точке за исключением его границ(открытый круг).

Опр4. Число А наз-ся пределом ф-ии z=f(x,y) при х→х0 и у→у0(или в (.) ч0, у0), если для любого числа ε<0 сущ-т число δ>0 : выполн нер-во

|f(x,y)-A|<ε при 0<((x-x0)²-(y-y0)²)^½<δ. При этом пишут: А=limf(x,y)

Замечание. Величина ρ=((x-x0)²-(y-y0)²)^½ есть расстояние между точками (х,у) и (х0,у0) на плоскости.

Опр5. Ф-ия z=f(x,y) наз-ся непрерывной в (.) х0, у0, если: 1. Она определена в (.) (х0,у0). 2. Сущ конечный предел в (.) (х0,у0). 3. Этот lim = знач ф-ии в (.) (х0,у0), limf(x0,y0)=f(x0,y0).

ПАРАГРАФ 3. Частные производные.

Опр6. Разности ∆ z=f(x+∆x,y)- f(x,y) ∆ z=f(x,y+∆y)-f(x,y) наз-ся частным приращением ф-ии z=f(x,y) в (.) (х,у) по переменной х и у соответственно.

Опр7. Частной производной ф-ии z=f(x,y) по переменной х наз-ся предел отношения частного приращения ф-ии по переменной х к приращению ∆х, когда последний стремится к 0. При этом пишут ∂z/∂x=lim∆ z/∆x.

Замечание! Аналогично определяется и обозначается частная произ ф-ии z=f(x,y) по переменной у.

Замечание! 1. Частные производные также обозн символ z’, z’, f’(x,y), ∂f/∂x, ∂f/∂y. 2. Для частных производных справедливы обычн правила и формы дифф-ия. 3. При вычисл частной произв ф-ии неск переменных по какой-то одной переменной другие перемен считаются постоянными.