4.4. Линии второго порядка, заданные каноническими уравнениями

Алгебраической линией -го порядка называется множество точек, определяемое алгебраическим уравнением -ой степени относительно декартовой системы координат. В случае =2 линия называется линией второго порядка.

Эллипс

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

,

где , – длины полуосей.

Точки пересечения эллипса с его осями симметрии, которые в данном случае совпадают с осями координат, называются вершинами. Точки F₁(-c;0), F₂(c;0) – фокусы эллипса, причём ²= ²- ².

Эксцентриситет ε эллипса есть число, равное ε= <1.

Директрисы эллипса – прямые и , определяются уравнениями:

=- , = .

Директориальное свойство: для любой точки эллипса справедливы равенства: =ε, =ε,

где , – расстояния от точки до соответствующей данному фокусу директрисы.

Гипербола

Каноническое уравнение гиперболы: .

При = гипербола называется равносторонней.

Точки пересечения гиперболы с действительной осью, в данном случае совпадающей с осью , называются вершинами гиперболы.

Фокусы гиперболы F₁(-c;0), F₂(c;0), где c²= ²+b².

Эксцентриситет гиперболы число ε, определяемое формулой ε= >1.

Директрисы гиперболы – прямые и , определяются уравнениями:

=- , = ,

директриса соответствует фокусу F₁, – фокусу F₂.

Директориальное свойство: =ε, =ε, где r₁ – расстояние от левого фокуса до точки любой ветви гиперболы, r₂ – расстояние от правого фокуса до точки любой ветви гиперболы, d₁ и d₂ – расстояния этих точек от директрис и .

Асимптоты гиперболы определяются уравнениями:

, .

Уравнение - определяет гиперболу, симметричную относительно координатных осей; ветви её пересекают ось , фокусы лежат на оси .

Парабола

Каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси :

,

где – фокальный параметр (расстояние от фокуса параболы до директрисы ).

Директриса определяется уравнением х=- .

Вершина параболы совпадает с началом координат. Фокус находится в точке F( ;0).

Парабола, симметричная относительно и проходящая через начало координат, определяется уравнением . Её фокус находится в точке F(0; ), уравнение директрисы имеет вид: у=- , а фокальный радиус точки М (х;у) равен =y+ .

Примеры решения задач

Задача 1. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 14, эксцентриситет .

Решение. Из условия задачи следует, что 2c=14, тогда с=7. Так как и c7, то а9. Из равенства получаем . Каноническое уравнение данного эллипса имеет вид: .

Ответ. .

Задача 2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если действительная ось равна 6, эксцентриситет .

Решение. Из условия задачи следует, что 2 a =6, тогда а =3. Так как и a =3, то c=5. Так как , то . Каноническое уравнение гиперболы примет вид .

Ответ. .

Задача 3. Написать каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки M(3;2), N(3 ).

Решение. Чтобы составить каноническое уравнение эллипса , необходимо найти его полуоси, т.е. величины а и b. Так как эллипс проходит через точки M и N, их координаты должны удовлетворять уравнению эллипса. Подставляем в каноническое уравнение эллипса сначала координаты точки M, затем – точки N. Получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными а и b:

Следовательно, каноническое уравнение эллипса будет иметь вид:

.

Ответ. .