5. Аналитическая геометрия в пространстве

5.1. . Метод координат в пространстве

Деление отрезка в данном отношении

Координаты x,y,z точки M, делящей отрезок M₁M₂ в отношении , вычисляются по формулам:

, , .

Если точка M – середина отрезка M₁M₂, то и формулы принимают вид:

, , .

В этих формулах (x₁; y₁; z₁) – координаты точки M₁ – начала отрезка, (x₂; y₂; z₂) – координаты точки M₂ – конца отрезка.

Расстояние между двумя точками

Расстояние между двумя точками A(x₁; y₁; z₁) и B(x₂; y₂; z₂), заданными относительно прямоугольной системы координат в пространстве, определяется формулой:

.

5.2. Плоскость

Всякая плоскость относительно некоторой прямоугольной системы координат в пространстве определяется уравнением первой степени и обратно: каждое уравнение первой степени определяет плоскость.

Различные способы задания плоскости

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку параллельно двум неколлинеарным векторам

Пусть относительно некоторой прямоугольной системы координат в пространстве дана точка M₀(x₀; y₀; z₀) некоторой плоскости и два неколлинеарных вектора , , параллельные этой плоскости.

Тогда уравнение плоскости можно записать так:

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

Если относительно некоторой прямоугольной системы координат в пространстве даны точки M₁(x₁; y₁; z₁), M₂(x₂; y₂; z₂), M₃(x₃; y₃; z₃), принадлежащие некоторой плоскости, то уравнение этой плоскости имеет вид:

.

Уравнение плоскости в «отрезках»

Если некоторая плоскость отсекает на осях координат отрезки: а– на оси , b – на оси , с – на оси , то уравнение этой плоскости имеет вид:

.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно данному вектору

Пусть относительно некоторой прямоугольной системы координат плоскость проходит через точку M₀(x₀; y₀; z₀) перпендикулярно вектору (A; B; C). Уравнение этой плоскости будет иметь вид:

A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0.

Общее уравнение плоскости. Условие параллельности вектора некоторой плоскости

Какими бы способами ни была задана плоскость, ее уравнение можно привести к виду:

.

Это уравнение называется общим уравнением плоскости.

Если плоскость задана относительно прямоугольной системы координат, то коэффициенты A, B, C этого уравнения служат координатами вектора нормали к данной плоскости: (A; B; C).

Вектор параллелен плоскости, определяемой уравнением , тогда и только тогда, когда выполняется условие:

Ap₁+Bp₂+Cp₃=0.

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки M₀(x₀; y₀; z₀) до плоскости, определяемой в прямоугольной системе координат общим уравнением , находится с помощью формулы:

.

5.3. Прямая в пространстве

Вектор, параллельный прямой, называется направляющим вектором прямой.

Различные способы задания прямой

Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору.

Прямая, проходящая через точку M₀(x₀; y₀; z₀) параллельно направляющему вектору , определяется или параметрическими уравнениями:

x = x₀+ ₁t,

y = y₀+ ₂t,

z = z₀+ ₃t,

где t – параметр, принимающий произвольные значения, или каноническими уравнениями вида:

.

(В этом уравнении отношения рассматриваются как пропорция, а не как дроби).