Интегрирование рациональных функций
Отношение двух многочленов называется рациональной функцией. Если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, то рациональная функция называется правильной, в противном случае – неправильной. Простейшими рациональными функциями называются функции вида
,
где
– действительные числа;
– натуральное число и
.
Алгоритм интегрирования рациональной функции:
1. Если рациональная функция неправильная, то с помощью деления ее нужно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной функции.
2. Знаменатель правильной рациональной функции нужно разложить на линейные и квадратичные множители.
3. Используя метод неопределенных коэффициентов, разложить правильную рациональную функцию на сумму простейших.
4. Проинтегрировать все полученные слагаемые.
Пример.
Вычислить
.
Подынтегральная функция правильная, и ее знаменатель разложен на множители, поэтому переходим к третьему пункту алгоритма. Разложение на сумму простейших для этой функции будет иметь вид
,
где
– некоторые числа (неопределенные
коэффициенты), которые нужно найти.
Дроби в правой части приводим к общему
знаменателю (он равен
)
и приравниваем числители.
.
Приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях
в левой и правой части, получим систему
уравнений.
Таким образом,
.
Определенный интеграл
Если
– непрерывная функция на
и
– первообразная для
,
то определенный интеграл
можно вычислить по формуле
Ньютона-Лейбница:
.
Пример.
.
При вычислении определенного интеграла можно использовать формулу интегрирования по частям:
.
(функции и должны быть непрерывны на ).
Пример.
.
В определенном интеграле можно сделать замену переменной , тогда
,
где
числа
и
такие, что
,
(функция
должна быть непрерывна на
,
функция
– непрерывна на
).
Геометрические приложения определенного интеграла .
Пусть
функция
непрерывна и неотрицательна на
.
Тогда площадь
криволинейной трапеции
(рис.5), ограниченной графиком функции
,
осью
и прямыми
вычисляется по формуле
.
Объем
тела, образованного вращением
криволинейной трапеции
вокруг оси
,
вычисляется по формуле
.
Длина
дуги
,
заданной графиком функции
,
вычисляется по формуле
.
Если
функция
задана параметрически
уравнениями
,
,
где
,
то
,
,
.
Пусть
в полярной
системе координат
задана функция
,
где
– полярный угол,
– полярный радиус точки.
Если
функция
непрерывна на
,
то площадь криволинейного сектора
,
ограниченного графиком функции
и лучами
,
(рис. 6), вычисляется по формуле:
.
Длина
дуги вычисляется по формуле
.
Пример.
Вычислить
длину одной арки циклоиды
,
,
.
Решение.
Нарисуем арку циклоиды. Заметим, что
если
меняется
от 0 до
,
то
возрастает от 0 до
,
а
сначала возрастает от 0 до
,
а затем убывает до 0.
.