Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка

1. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка

( 1 )

равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения

и какого-нибудь частного решения неоднородного уравнения (1), то есть .

2. Если – числа, то для нахождения нужно определить корни характеристического уравнения

. ( 2 )

Если действительные не равные друг другу корни , то ;

если , то ;

если корни комплексные, , то .

3. Пусть правая часть данного неоднородного уравнения (1) имеет вид

,

где – многочлен степени . Отметим, что при – константа, а если , то – многочлен степени . Тогда частное решение можно найти в виде

,

где – некоторые коэффициенты, , если число не является корнем характеристического уравнения (2) (и тогда ), , если один из корней уравнения (2) равен , другой не равен , , если оба корня уравнения (2) равны .

Для случая, когда частное решение можно найти в виде

,

где – некоторые коэффициенты;

, если не является корнем характеристического уравнения (2) (и тогда ),

, если является корнем уравнения (2).

Коэффициенты ( ) находят, подставляя функцию и ее производные в уравнение (1) и приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях в обеих частях полученного равенства.

4. Если в правой части уравнения (1) стоит сумма функций различного вида , то частное решение равно сумме частных решений , где – решение уравнения (принцип наложения частных решений).

5. Константы находят из начальных условий , .

Пример. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Запишем характеристическое уравнение , откуда , . Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид .

В правой части нашего уравнения стоит сумма двух функций и . Частное решение , соответствующее правой части , нужно искать в виде , т.к. – многочлен степени поскольку число 0 является корнем характеристического уравнения. Частное решение , соответствующее правой части , ищем в виде (в данном случае , это число не является корнем характеристического уравнения). По принципу наложения частных решений . Находим производные:

,

.

Подставив в данное уравнение, получим

.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых функциях. При , при , при , при . Из этой системы уравнений найдем, что , , , . Подставив эти числа в и сложив и , найдем общее решение данного уравнения :

.

Для нахождения частного решения, удовлетворяющего начальным условиям , дифференцируем :

.

Подставляем в и в , получаем:

откуда и . Значит, – искомое частное решение.

Рекомендуемая литература:

1. Гусак А.А. Высшая математика: В 2т. – Мн.:ТетраСистемс, 1998-2003.

2. Гусак А.А. Задачи и упражнения по высшей математике: В 2т.-Мн.: Выш. шк.,1988.

3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Полный курс.-М.: Айрис-пресс, 2005.

4. Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике.: В 2т. – М.: Айрис-пресс, 2005.

29